Студентам, имеющим соответствующую подготовку, позволяет изучать литературу, культуру и общество через призму различных национальных традиций или через сопоставление литературоведения с другими дисциплинами в области гуманитарных и социальных наук.
Мне интересно рассматривать математику с точки зрения гуманитарных и социальных наук, например, исследовать историю математики, философию математики или социологию математики.
Я хотел бы попросить о возможности переосмыслить. Рассматривать математику как один из изучаемых языков. Это позволило бы мне более глубоко погрузиться в изучение математики и расширить свои знания.
I. Введение
Чтобы изучать математику с точки зрения гуманитарных наук, вы должны сначала уметь говорить на языке математики. Математика, как и любой настоящий язык, имеет грамматику и лексикон. Только когда вы достаточно хорошо знакомы с обоими, вы можете фактически участвовать в математическом дискурсе. Поэтому изучение математики с точки зрения литературы, философии и истории требует знакомства с математикой так же, как участие в уроке русской литературы требует знания руского языка. И так же, как русский текст должен быть переведен, чтобы быть понятым англоговорящей аудиторией, математическая мысль должна пройти процесс перевода, чтобы быть понятой более широкой академической аудиторией. Поскольку это область моих интересов, я считаю, что математика должна считаться языком.
II. Грамматика
Прежде чем обсуждать грамматику математики, я хотел бы остановиться на важном различии, которое я буду использовать в этом эссе. В математике существует различие между самой математикой и тем, что называется метаматематикой. Математика в собственном смысле изучает математические объекты — числа, формы и их более абстрактные обобщения. Метаматематика, с другой стороны, изучает процесс выполнения математических задач: она рассматривает такие темы, как логика, множества и корректура. Это эквивалентно разнице между тем, кто изучает литературу языка, и тем, кто изучает лингвистику этого языка. Литературный теоретик имеет социологическое понимание грамматики своего языка и использует это понимание для создания письма. Лингвист, однако, работает с более широкой и точной картиной грамматики. Точно так же математик имеет социологическое понимание математической грамматики, которую он использует для выполнения математических задач. Метаматематик, однако, работает с более широкой и точной картиной математической грамматики. Чтобы увидеть это на практике, нам нужно лучше понять, что на самом деле представляет собой математическая грамматика.
В математической грамматике есть два компонента: доказательства и элементарные математические объекты. Доказательства являются инструментом установления истины в математике. Так же, как ученый может спроектировать эксперимент, чтобы показать, что его гипотеза верна, математик построит доказательство утверждения, чтобы показать его истинность. Они также являются основным режимом математического дискурса, так же как разговор или литературный текст являются режимом лингвистического дискурса. Давайте рассмотрим пример. Математическое утверждение, которое является истинным, то есть которое имеет доказательство, называется теоремой
- Теоремы обычно говорят что-то об объекте, который мы определили, поэтому давайте начнем с простого определения. Это математический эквивалент определения базового глагола для объяснения спряжения.
Определение 1 (Чётные числа). Мы говорим, что натуральное число a является чётным, если существует натуральное число b, такое что a = 2 · b.Другими словами, четное число — это удвоенное целое число. Таким образом, 4 — четное, а 5 — нет, так как 4 = 2 · 2, а 5 не равно 2, умноженному на целое число. Теперь, когда у нас есть объект, мы можем придумать теорему о нем.
Теорема 1. Пусть a — четное число. Тогда a 2 — четное число. (Напомним, a 2 = a · a.)
Я назову это «Теоремой 1», как принято. Эта теорема, безусловно, выглядит верной — мы знаем, что 2 четно, и 2 2 = 4; мы знаем, что 4 четно, и 4 2 = 16; и мы знаем, что 6 четно, и 6 2 = 36. Однако для того, чтобы эта теорема считалась математическим фактом, нам нужно ее доказать. Вот как будет выглядеть доказательство.
Доказательство. Предположим, что a — четное число. Мы хотим показать, что a 2 =2c для некоторого числа c . По определению четного числа, a=2b для некоторого числа b . Это означает, что a 2 =2(2b) 2 , поэтому
а 2 = (2б) 2 = 4б 2 = 2(2б 2 )
Итак, если мы просто скажем, что число c равно 2b 2 , то a 2 =2c .
Проще говоря, это означает, что если a — это дважды b , то a · a — это четырежды b · b , что то же самое, что быть дважды 2 · b · b . Это, по сути, и есть доказательство: процесс, с помощью которого мы берем математическую теорему и показываем, что из ее предположений вы на самом деле знаете, что ее заключение верно. То, что на самом деле определяет доказательство, немного сложнее. В метаматематическом смысле доказательство — это список утверждений, в котором каждое утверждение является либо аксиомой вашей логической системы, либо следует (используя некий запутанный набор правил для вывода) из предыдущих утверждений. Формализованная версия доказательства, которое я сделал выше, например, будет очень длинным списком символов, таких как ∅, ∪, = и ⇒, которые следуют определенному набору правил. Однако на практике это не совсем то, что используют математики. Хотя формальные доказательства технически говорят, почему что-то является истинным, людям их очень трудно читать. Как любит говорить мой нынешний профессор математики Эван Уорнер, «доказательства — это социологические конструкции» — что-то считается доказательством, потому что математики решили, что это считается доказательством. Большая часть изучения математики заключается в том, чтобы освоиться с правилами этих социологических конструкций.
- Чтобы увидеть пример этого, рассмотрим доказательство теоремы 1. Я рассмотрю три разных примера того, как мы могли бы это доказать, и объясню, как математики отреагируют на каждый из них. Первый пример — это доказательство, которое я привел выше. Это определенно можно считать доказательством — оно следует стандартным математическим соглашениям как по языку, так и по структуре.
- Для нашего второго примера давайте рассмотрим более простое объяснение, которое я дал после доказательства. Это будет немного более пограничным — хотя технически оно верно, оно гораздо менее общепринято по своей структуре и языку и, следовательно, не будет уместным в более строгих контекстах. Для нашего третьего примера, предположим, я записал очень длинный список четных чисел и их квадратов: 2 и 4, 4 и 16, 6 и 36 и т. д. вплоть до 3 456 278 и 11 945 857 613 284. Это, конечно, было бы весьма убедительно — если теорема 1 не терпит неудачу почти в 3,5 миллионах случаев, то как она может быть неверной? Однако это не будет считаться доказательством в математическом контексте — математик может возразить, например, что мы не знаем, верна ли теорема для 4 000 000 только из этого списка. Различия между этими примерами доказательств эквивалентны правилам грамматики. Пример один подобен хорошо построенному предложению на языке — каждый говорящий на этом языке поймет, что вы говорите. Пример два подобен плохо построенному предложению — хотя оно передает суть, оно не будет подходить для некоторых форм общения. И пример три — это предложение, которое настолько плохо построено, что на самом деле не имеет смысла — хотя говорящий считает, что он передает свою идею, на самом деле он этого не делает. Изучение грамматики математики означает изучение как того, как построить доказательство, которое имеет смысл на самом базовом уровне, так и того, как построить доказательство, которое подходит для участия в математическом дискурсе. Приведенные мной примеры слишком упрощены, поскольку они касаются только того, является ли что-то допустимым доказательством или нет. Даже когда человек понимает, что считается доказательством, понимание того, какой тип доказательства применим к конкретным обстоятельствам, остается сложным. Есть также лингвистический компонент: как мы видели в примерах один и два, одна и та же идея, выраженная немного другим языком, может иметь разные уровни строгости. Таким образом, написание доказательств является определенно нетривиальным навыком и является требованием для математического образования. Например, одним из первых требований, которые упоминает кафедра математики Колумбийского университета для участия в занятиях более высокого уровня, является знакомство с доказательствами, которые могут быть получены из курсов "Отличник математики", линейной алгебры, комбинаторики, теории чисел или множества других курсов.
- Хотя это требование демонстрирует основополагающую природу доказательств для математического участия, оно также подчеркивает другой ключевой аспект доказательств: они не требуют какого-либо конкретного содержания. Линейная алгебра, комбинаторика и теория чисел не имеют почти никакого общего содержания — если говорить упрощенно, они соответственно имеют дело с идеей линий во многих измерениях, сложными задачами подсчета и свойствами целых чисел (0, 1, 2, −1, −2 и т. д.). Тем не менее, все они каким-то образом выполняют одну и ту же функцию: обучают написанию базовых доказательств. То же самое относится и к "Отличник математики" — профессор сказал нам, что формирование навыков написания доказательств является такой же целью класса, как и изучение содержания. Это то, что делает написание доказательств грамматическим: это необходимая структура для математического мышления, но в ней отсутствуют какие-либо реальные математические объекты, во многом так же, как грамматика структурирует язык, но не имеет собственного значения без слов. Другие ключевые части математической грамматики — это множества и функции. Так же, как некоторые метаматематики изучают доказательства, другие, называемые теоретиками множеств, изучают множества и функции.
- Как и доказательства, множества и функции имеют более социологическую версию, известную как «наивная теория множеств», которая является основополагающей в том же смысле, что и написание доказательств. Наивная теория множеств социологически определена в том смысле, что она именно настолько формальна, насколько, по мнению математиков, необходимо для выполнения математических задач. Во многих отношениях она не имеет ничего общего с формализованной версией теории множеств. Поскольку и множества, и функции довольно просто определить в их наивном смысле, я дам оба определения прямо сейчас.
Определение 2 (Наборы). Набор — это совокупность объектов.
Определение 3 (Функции). Функция — это правило, которое берет объекты из одного набора, называемого его доменом, и сопоставляет их с объектами из другого набора, называемого его кодоменом. Каждый объект в домене должен совпадать ровно с одним объектом из кодомена.
- Обычно мы записываем множества, заключая список элементов в скобки. Например, {1, 3, 5} — это множество. Так же, как и , {абажур, белка} и множество всех дробей. Функции кажутся сложными, но на самом деле они гораздо проще, если посмотреть на некоторые примеры. Например, правило, которое принимает число x и выводит x 2 , является функцией. Оно принимает объект в своей области — наборе чисел — и выдает число в своей области значений. Обычно мы записываем функцию с именем f , говоря f(x) = , а затем вывод для заданного ввода x . Например, в случае функции x 2 мы бы написали f(x)=x 2 , чтобы показать, что ввод x сопоставляется с его квадратом. Функции также можно визуализировать различными способами, например, в виде диаграмм и графиков. Почти каждый важный объект в математике — это множество или функция. Математику можно (очень грубо) разделить на три ветви: алгебру, геометрию и анализ. Интуитивно алгебра — это изучение объектов, подобных числовым системам; геометрия — это изучение форм и их обобщений; а анализ — это изучение непрерывных процессов.
-Однако в математической практике алгебра — это изучение множеств, с которыми связаны определенные типы функций; геометрия — это изучение множеств точек в пространстве и их обобщений, основанных на множествах точек, которые считаются «близкими»; а анализ — это изучение определенных операций, которые вы можете выполнять над функциями. Множества и функции буквально повсюду в математике. Однако, как и доказательства, они сами по себе не имеют смысла. Хотя такие вопросы, как «Что на самом деле считается множеством?» и «Существуют ли определенные типы функций?», имеют метаматематическое значение, они редко имеют смысл в собственно математике (за исключением ссылки на более конкретные объекты). Как и в случае с доказательствами, есть базовая интуиция, лежащая в основе того, как ведут себя множества и функции, которая вводится в таких курсах, как "Отличник математики", и необходима для изучения математики. Вот почему они грамматические, а не лексические.
-Подводя итог, можно сказать, что грамматика математики состоит из основополагающих идей, которые лежат в основе всей математической мысли, но которым не хватает содержания, необходимого для того, чтобы иметь смысл самостоятельно. Так же, как некоторые лингвисты изучают грамматические структуры языка, метаматематики изучают эти базовые структуры в строгом контексте. Однако для большинства математиков интуитивное, социологически определенное понимание является и необходимым, и достаточным. С педагогической точки зрения сходство между грамматикой математики и грамматикой языка продолжает сохраняться. Хотя большая часть вводной грамматики математики преподается на таких курсах, как "Отличник математики", студенты продолжают изучать ее части на протяжении всего обучения. Например, когда студент посещает курс анализа, он изучает аргумент эпсилон-дельта, тип доказательства, используемый преимущественно в анализе. Аналогично, по мере того, как студент продвигается по языку, он изучает грамматику, необходимую для выражения все более сложных структур идей.
Продолжение темы: https://dzen.ru/a/Z7NuZHIYWTiPR_le?share_to=link