Когда кто-то спрашивает вас, сколько языков вы знаете, всегда говорите, что вы как минимум двуязычны. Почему? Потому что вы знаете свой родной язык и математику. Математика — это язык окружающего нас мира.
Так сказал мне профессор дифференциальных уравнений на первом занятии, и с тех пор эти слова звучат у меня в голове. Математика прекрасно описывает мир вокруг нас. Конечно, мы можем описать мир и другими способами: выразить словами цвета и запахи цветов или приятные звуки пения птиц по утрам. Но иногда просто нет слов, чтобы описать то, что мы видим. Это как в старой пословице: «Картинка стоит тысячи слов».
Однако математика заходит гораздо дальше. Она описывает мир так, как мы не можем себе представить. В математике есть концепции, для которых нет слов на английском или любом другом языке. Единственный способ выразить такие концепции и идеи — это математика.
Один из первых случаев, когда я столкнулся с такой концепцией, произошёл на занятии по исчислению. Профессор показывал, как применять множественные интегралы и их связь с измерениями, и рассказал нам историю, основанную на книге «Flatland» Эдвина А. Эбботта.
Представьте, что вы живёте в одномерном мире. В вашем мире есть только одно измерение, поэтому вы можете двигаться только в одном из двух направлений: вперёд или назад. Однажды, когда вы прогуливаетесь, вы слышите голос, окликающий вас: «Эй, как дела?» Вы слышите этот голос очень отчётливо, но не видите, кто говорит. Озадаченный, вы спрашиваете: «Кто вы?»
Ответ: «Я круг! Я существую в двухмерном мире!»
«Двухмерный мир? Двухмерный мир не существует! Вы можете двигаться только в двух направлениях!»
«То, что вы не можете себе представить, как выглядят два измерения, не означает, что их не существует. Позвольте мне показать вам, кто я. Я пройду через ваше измерение, чтобы вы могли меня увидеть».
Перед вами появляется точка. Точка превращается в две точки рядом друг с другом. Затем две точки начинают отдаляться друг от друга, пока внезапно не останавливаются и не начинают приближаться друг к другу. В конце концов две точки сливаются в одну, и точка исчезает. После этого круг восклицает: «Я только что прошёл через ваше измерение. Вы меня видели?»
Теперь представьте, что вы живёте в двухмерном мире, поэтому вы можете двигаться в четырёх направлениях: вперёд, назад, влево и вправо. Откуда-то из ниоткуда раздаётся голос: «Эй, я сфера!»
Вы отвечаете: «Что такое сфера?»
«Я как круг, но в трёх измерениях. Позвольте мне показать вам».
Перед вами появляется точка. Затем точка превращается в крошечный круг. Круг начинает расти всё больше и больше. Внезапно круг начинает сжиматься, пока не превращается обратно в точку и не исчезает.
Теперь вернёмся к нашему трёхмерному миру. С нашей точки зрения мы видим, что точки, которые появились в одномерном мире, являются одномерными срезами круга. Круги, которые появились в двухмерном мире, были двухмерными срезами сферы.
Теперь сделаем шаг дальше в наше измерение. Как будет выглядеть четырёхмерная сфера? Очевидно, мы не можем представить себе направление четвёртого измерения. Мы знаем только шесть направлений (вперёд, назад, влево, вправо, вверх и вниз). Однако мы можем видеть трёхмерные срезы четырёхмерной сферы, проходящие через наше измерение. Как это будет выглядеть? Давайте представим, что такой объект проходит через наше измерение.
В предыдущих двух случаях объект начинался как точка, а затем превращался в максимально возможное в этом мире представление измерений. В нашем случае таким представлением была бы сфера.
Таким образом, когда объект проходит через наш мир, мы сначала увидим точку. Точка расширится в крошечную сферу. Эта сфера будет продолжать расти и расти, пока внезапно не изменит направление и не начнёт сжиматься обратно в точку. В конце концов точка исчезнет.
Очевидно, что такая визуализация не показывает нам всю четырёхмерную сферу, но математика, стоящая за ней, всё ещё может предоставить нам информацию об таком объекте.