Алексей Куличков родился 19 апреля 1976 года в Пензе в многодетной семье. Детство артиста было омрачено трудными обстоятельствами, связанными с отцом, который злоупотреблял алкоголем и устраивал дебоши, держа в страхе всю семью. Мать Алексея работала на нескольких работах, чтобы обеспечить троих детей. С ранних лет Алексей проявлял интерес к творчеству. В возрасте восьми лет он начал посещать Дворец детского и юношеского творчества, где занимался вокалом, а затем перешел в театральный кружок.
После окончания школы Куличков переехал в Москву, чтобы поступить в театральный вуз, но не смог пройти вступительные экзамены. После неудачи он вернулся в Пензу. В Москве Куличков пробовал себя на различных кастингах, стремясь получить роли в кино и на телевидении. В этот период ему приходилось подрабатывать продавцом и даже ночевать на улице.
Известность к Куличкову пришла благодаря работе на телевидении, в частности, в качестве ведущего шоу «Такси» на ТНТ. Однако в 2009 году шоу было закрыто из-за ребрендинга телеканала и изменений в законодательстве о такси, что сделало невозможным съемки в прежнем формате. После «Такси» Алексей вел и другие похожие шоу, но они не принесли ему такой же популярности. Вскоре он столкнулся с серьезными проблемами со здоровьем и сделал перерыв в карьере. в личной жизни Куличкова произошли изменения — он развелся. . В 2021 году стало известно, что после развода с парикмахершей, Алексей Куличков состоит в отношениях с юной Ольгой.
В 2017 году отец Алексея появился в телепрограмме «На самом деле», где рассказал о своей тяжелой жизни и заявил, что живет на помойке в Пензе и питается объедками. Он потребовал от сына, чтобы тот обеспечил его жильем. Куличков пообещал помочь отцу и купить ему жилье. По словам Куличкова, его отец так и не попросил прощения за плохое обращение в детстве. Алексей отмечал, что его отец сейчас находится в специализированном учреждении.
Алексей Куличков опроверг информацию о том, что перенес инсульт. По словам телеведущего, около года назад он действительно попал в больницу, но с гипертоническим кризом. .Этот случай заставил Куличкова пересмотреть свой образ жизни и заняться здоровьем.
В результате принятых мер, Алексей Куличков похудел на 14 килограммов. Для достижения этой цели он тренируется в спортзале 4-5 раз в неделю и правильно питается, употребляя меньше жиров и углеводов, и больше белков, а также выпивает около трех литров воды в день.
Куличков признает, что сам виноват в проблемах со здоровьем, так как во время работы кинорежиссером его рабочие смены длились до 16 часов, а съемки часто проходили на улице, и у него не было времени болеть.
Супруга Алексея, Ольга, также сыграла важную роль в изменении его образа жизни, настаивая на необходимости следить за здоровьем ради семьи. Куличков признает, что раньше не прислушивался к ее советам, но теперь понимает, что должен заботиться о себе, чтобы быть в силах обеспечивать семью.