Виды факториалов:
1. Факториал 𝑛!
Факториал числа 𝑛, обозначаемый 𝑛!, — это произведение всех натуральных чисел от 1 до 𝑛:
𝑛! = 1 × 2 × 3 × ⋯ × 𝑛
2. Двойной факториал 𝑛!!
Двойной факториал
𝑛!! — это произведение всех чисел, меньших или равных n, с одинаковой чётностью. Если
𝑛 — нечётное, то он равен произведению нечётных чисел от 𝑛 до 1:
𝑛!! = 𝑛 × (𝑛−2) × (𝑛−4) × ⋯ ×1
Если 𝑛 — чётное, то 𝑛!! равен произведению чётных чисел от 𝑛 до 2:
𝑛!! = 𝑛 × (𝑛−2) × (𝑛−4) × ⋯ × 2
3. Гиперфакториал 𝐻(𝑛)
Гиперфакториал 𝐻(𝑛) для натурального числа 𝑛 определяется как произведение чисел, каждое из которых возводится в степень, равную его значению:
𝐻(𝑛) = 1¹ × 2² × 3³ × ⋯ × 𝑛ⁿ
4. Суперфакториал Слоумена 𝑆𝑓(𝑛)
Суперфакториал Слоумена 𝑆𝑓(𝑛) определяется как произведение всех факториалов от 1 до 𝑛:
𝑆𝑓(𝑛) = 1! × 2! × 3! × ⋯ × 𝑛!
5. Суперфакториал Пиковера 𝑛$
Суперфакториал Пиковера - очень быстрорастущая функция. Он включает в себя возведение в степень (тетрацию):
𝑛$ = 𝑛! ↑↑ 𝑛!
6. Экспоненциальный факториал 𝑛$
Экспоненциальный факториал — это многократное возведение числа в степень 𝑛 - 1, затем 𝑛 - 2 и так до 1:
𝑛$ = 𝑛 ↑ (𝑛 - 1) ↑ (𝑛 - 2) ... 1
7. Фибоначчиал 𝐹!
Фибоначчиал числа 𝑛 определяется как произведение чисел Фибоначчи от 1 до 𝐹𝑛
𝐹! (𝑛) = 𝐹1 × 𝐹2 × ⋯ × 𝐹𝑛
8. Праймориал 𝑛#
Праймориал — это произведение всех простых чисел до 𝑛 - го простого числа включительно.
𝑛# = 2 × 3 × ... × 𝑛
9. Субфакториал !𝑛
Субфакториал, обозначаемый !𝑛, используется для подсчёта числа перестановок, в которых ни один элемент не остаётся на своём месте.
ДОПОЛНИТЕЛЬНО:
10. Возрастающий факториал (𝑥)𝑛
Возрастающий факториал используется для вычисления коэффициентов в комбинаторных задачах:
(x)𝑛 = x × (x+1) × (x+2) × … × (x+𝑛−1)
11. Убывающий факториал (𝑥)ⁿ
Убывающий факториал особенно полезен для представления различных комбинаторных выражений, таких как перестановки:
(x)n = x × (x−1) × (x−2) × ⋯ × (x−n+1)