В предыдущей Статье мы получили точные выражения для основных характеристик движения – мгновенной скорости и мгновенного ускорения. Но почему они являются основными? Ведь если функция обладает нужной степенью гладкости, то и производную можно брать столько же раз. Существуют даже функции бесконечной степени гладкости и, соответственно, бесконечно-дифференцируемые (их ещё называют аналитическими). Примерами таких функций в школьном курсе являются, например, синус и косинус. Но оказывается, что именно ускорения – вторые (а не третьи, четвертые …) производные координат можно найти по действующим на тело силам. И этого оказывается достаточно, чтобы определить всё движение тела в будущем. Для случая материальной точки М это означает, что, зная ускорение на всём интервале движения, а также координаты и скорость в начальный момент времени t, можно найти координаты и скорость в любой момент времени в будущем – т.е. решить основную задачу механики:
Итак, задача свелась к определению ускорения в любой момент времени по действующим на тело силам. Именно эту задачу для материальной точки М решает второй закон Ньютона (приводим три формы записи):
Первая форма записи, как мы видели, используется для решения основной задачи механики материальной точки, а последнее уравнение называется 2-м законом Ньютона в импульсной форме – именно в такой форме закон был сформулирован Ньютоном.
Если речь не о материальной точке, а о твердом теле конечных размеров, то роль координат играют углы вращения (всего 3 независимых угла относительно выделенных осей вращения – аналоги трех декартовых координат), роль импульса – мгновенный момент импульса вращения (о нем мы ещё поговорим), роль силы – суммарный момент сил относительно центра вращения, роль компонент скорости –производные углов (по ним можно построить вектор угловой скорости), а роль ускорений, как легко догадаться – вторые производные углов. Момент силы F, приложенной к точке r относительно точки вращения на самом деле вектор, который можно записать в “школьной форме” Момент (M)= Плечо (r) x Сила (F), только если произведение двух векторов понимается как векторное произведение, о котором мы поговорим в других разделах. Пока мы его не будем использовать, т.к. для вычисления работы (на которое есть реально много задач) используется привычное, изучаемое в школе, скалярное произведение = произведение длин векторов на косинус угла между ними = abcos(ф). Есть в механике твердого тела и свой аналог 2-го закона Ньютона (в импульсной форме) – теорема Резаля, которую при решении задач для симметричных тел удобно сформулировать в виде уравнения моментов – уже полного аналога обычного 2-го закона Ньютона, в котором роль массы играют моменты инерции относительно 3х осей вращения тела, с учетом того, что все три момента инерции могут быть разными. Это как если бы в механике материальной точки М для каждого направления XYZсуществовала бы своя мера инертности – эффективная масса mx, my, mz. Оказывается, электроны в кристаллах - металлах и полупроводниках, действительно могут обладать разными компонентами эффективной массы, но это уже «проделки» квантовой механики, которая требует отдельного изучения.
Нас пока интересует применение полученных знаний для решения задач механики поступательного и вращательного (для простейших систем) движения, которые составляю всегда значительную долю задач, предлагаемых на ЕГЭ. Для случая поступательного движения такие задачи решаются с применением системы уравнений, получаемой непосредственно из 2-го закона Ньютона:
Поскольку в большинстве предлагаемых задач рассматривается движение в одной плоскости (брошенный под углом камень и т.п.), то вторая система, как правило, содержит 2 уравнения (или даже одно – при движении вдоль прямой). О том, как решить эту систему для случая постоянных сил (равноускоренное движение) мы поговорим в следующий раз, там же рассмотрим некоторые “популярные” функции, используемые при решении задач, и нахождение их производные, что позволит решить обратную задачу – нахождение функции по её производной, а это и есть путь к решению основной задачи механики и очень большого числа задач на экзаменах, причем, не только из раздела механики!
©ФизОбр, 2025