Задача трех тел — классическая задача в физике и математике, которая включает в себя прогнозирование движений трех небесных тел (например, планет или звезд), которые взаимодействуют друг с другом посредством гравитационных сил. В то время как задача двух тел (например, Земли и Луны) может быть решена аналитически с помощью точных уравнений, задача трех тел не имеет общего решения. Почему?
Давайте начнем со звездной системы, которая содержит две звезды (и никаких других гравитационных влияний). Это будет система из двух тел. Используя только законы движения Ньютона, его закон всемирного тяготения и немного старой доброй математики, вы можете написать одно уравнение с конечными значениями, которое предскажет положения и скорости обеих звезд в любой момент времени – в будущем или в прошлом, без проблем.
Теперь представьте себе звездную систему с тремя звездами. На первый взгляд может показаться: «Ну, если можно написать уравнение, которое предсказывает положения двух звезд на орбите, наверняка можно сделать то же самое для трех звезд, верно?»
Нет, не верно. Не существует конечного уравнения, которое позволит предсказать, где будут находиться звезды в заданной точке в будущем, или насколько быстро они будут двигаться.
Но почему? Что меняется, когда мы переходим от двух гравитирующих тел к трем?
Причины неразрешимости
В системе из двух тел есть статический барицентр, или центр масс. Это чрезвычайно упрощает ситуацию, поскольку вектор силы на обоих телах всегда направлен к барицентру. Если барицентр не движется, то оба тела вращаются вокруг фиксированной точки (даже если эта точка не находится внутри ни одного из тел).
Однако в системе из трех тел барицентр движется по мере развития системы, следовательно, вектор силы, действующий на каждое тело (как и вектор ускорения каждого тела), постоянно смещается. Это делает систему из трех тел хаотичной. (Имейте в виду, что хаотическая система по-прежнему детерминирована — то есть будущее состояние каждого тела по-прежнему определяется положениями и скоростями тел в текущий момент времени — но его нельзя описать или предсказать с помощью конечного уравнения.)
На протяжении столетий математики пытались найти всеобъемлющее решение этой задачи, но все тщетно. И хотя общего решения найдено не было, было найдено несколько… скажем так, обходных путей.
Обходные пути
Первое. Существует пять трехтельных орбитальных конфигураций, которые можно описать конечными уравнениями. Эти конфигурации были разработаны Леонардом Эйлером и Жозефом-Луи Лагранжем. В каждой системе есть центральное тело массы, вокруг которого вращаются два меньших тела, сохраняющих фиксированное положение относительно друг друга. Пять точек вокруг спутника, в которых третье тело может быть помещено на стабильную (и предсказуемую) орбитальную траекторию, теперь известны как точки Лагранжа. (Примечание: Спутники в точках Лагранжа стабильны в долгосрочной перспективе только в том случае, если нет других возмущающих гравитационных сил. В реальной жизни спутники, размещенные в точках Лагранжа, имеют тенденцию смещаться из-за гравитационного влияния других планет.)
Второе. Если одно из тел значительно менее массивно, чем два других, то его гравитационным влиянием можно пренебречь, что означает, что система будет очень похожа на систему из двух тел. Это известно, как редуцированная задача трех тел.
И третье:
Компьютерные методы
Компьютеры обходят проблему трех тел, используя метод грубой силы для моделирования системы из трех (или более) тел. Вместо того чтобы пытаться предсказать, где будут находиться тела в момент времени t, они вычисляют силы, действующие на тела сейчас, перемещают тела в соответствии с их текущими векторами скорости и ускорения, а затем снова запускают вычисления. Проблема в том, что в реальной жизни тела движутся по непрерывным дугам, они не мчатся вперед короткими прямолинейными отрезками. Поэтому точность компьютера при проектировании будущих состояний тел в большой системе зависит от того, насколько короткими установлены интервалы между каждым расчетом.
Используя набор приближений (и суперкомпьютеры), можно предсказать положение тел в системе из нескольких тел (например, в нашей солнечной системе) с довольно хорошей точностью. Тем не менее, это не то же самое, что решить задачу трех тел. Независимо от того, насколько хорошо мы предсказываем, где будет находиться Юпитер 24 мая 2395 года, мы не описали (и не можем описать) положение Юпитера с помощью простого конечного уравнения. Это и есть задача трех тел.
Заключение
Подводя итог, можно сказать, что задача трех тел неразрешима в общем смысле из-за ее сложных взаимодействий, хаотической природы и отсутствия всеобъемлющего аналитического решения. Тем не менее она остается важной областью изучения в небесной механике, имеющей значение для понимания динамики систем от планет до галактик.