Благодаря введению производной (см.Статью), теперь можно точно определить сразу оба понятия: мгновенной скорости - как производной по времени векторной функции r(t), определяющей положение материальной точки M в 3-мерном пространстве, и мгновенного ускорения - как производной по времени функции мгновенной скорости, полученной на предыдущем шаге (ex ey ez – единичные векторы координатных осей):
Это означает, что скорость является первой производной по времени от координат (радиус-вектора), а ускорение является второй производной:
Для решения задач по механике это векторное равенство нужно спроектировать на координатные оси, вдоль которых происходит движение – в школьном курсе обычно рассматриваются 1- и 2- мерные движения (для z - оси всё аналогично):
Здесь мы использовали все три варианта записи производной по времени:
1) прямое определение - как операцию (d/dt),
2) штрих у того, что дифференцируется, нижний индекс обозначает переменную, по которой происходит дифференцирование.
3) точка над тем, что дифференцируется по времени
Нужно заметить, что последний вариант применяется только для производных по времени, т.к. не указывается, по какой переменной идет дифференцирование. Легко сообразить, что для второй производной нужно писать два штриха или две точки, но для двух штрихов нужно писать и два нижних индекса t (!) – по той же причине, что в знаменателе записано dt2: этим говорится, что и первый и второй раз мы дифференцируем по одной и той-же переменной - времени t. Ведь ничто не мешает переменной х зависеть, кроме времени t, ещё и от другой переменной, например, u, и тогда мы получаем уже смешанную производную, которые нам вряд ли понадобятся в школьном курсе, но про которые полезно знать, для них применяется несколько иное – наклонное написание, т.к. если функция зависит от двух (и более) разных переменных, то производные называются частными производными:
Все уравнения, которые описывают распределенные процессы в пространстве – распространение тепла или волн (акустических, электромагнитных, гравитационных) – это уравнения в частных производных.
Но в школьном курсе рассматриваются простейшие виды движения (за исключением волн), в которых нам понадобится знание только обычных производных. О способах их вычисления мы поговорим в статьях, посвященных этим видам движения, а пока покажем, как эффектно получается правило вычисления производной сложной функции (функции от функции) с использованием прямого определения производной - обращаясь с дифференциалами как с обычными переменными!
Это правило нам реально понадобится, оно гласит, что производная сложной функции (первая функция зависит от второй, которая зависит уже от независимой переменной) равна произведению двух производных : производной первой функции по переменной, которая обозначает вторую функцию и производной второй функции по независимой переменной. Рекомендуется запомнить это правило наизусть! :)
Вернемся к механике, конкретно – к механике материальной точки M. Основная задача механики в данном случае состоит в предсказании положения точки M в пространстве в произвольный момент времени t, а значит, к нахождению функции радиус-вектора r(t) , что равносильно нахождению трёх скаларных функций (или двух или одной - по числу используемых координат) :
О том, как она решается, мы поговорим в следующей статье.
©ФизОбр, 2025