В повседневных расчетах мы используем рациональные и иррациональные числа. Разбираемся, чем они отличаются друг от друга
Содержание:
- Что такое
- Свойства
- Отличия от рациональных
- Примеры
- В геометрии
Что такое иррациональные числа
Иррациональные числа — это числа, которые невозможно представить в виде простой дроби, например, как 1/2 или 3/4. Если их записать в виде десятичной дроби, она будет бесконечной и непериодической, то есть после запятой будет неограниченное количество цифр без какого-либо повторяющегося шаблона [1]. Пример иррационального числа — это квадратный корень из трех (√3), он равен 1,7320508075... и так далее, без конца.
Иррациональные числа выходят за рамки простой арифметики и открывают дверь в мир более сложных математических понятий. Несмотря на это, их можно встретить в множестве составляющих: от длины диагонали квадрата до пропорций произведений искусства.
Свойства иррациональных чисел
У иррациональных чисел есть ряд уникальных свойств:
- Сложение иррационального числа с рациональным дает иррациональное число. Например, если к √2 прибавить 1, результат снова будет иррациональным.
- Умножение иррационального числа на рациональное (отличное от нуля) дает иррациональное число. Например, если умножить π на 2, результат все равно будет состоять из иррационального числа.
- Сложение или умножение двух иррациональных чисел может дать как иррациональный, так и рациональный результат. Например, если сложить √2 и -√2, получится 0, это рациональное число. А если сложить √2 и √3, результат будет иррациональным.
- У иррациональных чисел нет конечного значения. При вычислениях их часто округляют до определенного количества знаков после запятой, потому что число невозможно записать полностью. [3].
Чем отличаются рациональные числа от иррациональных
Рациональные числа можно представить в виде дроби — отношения двух целых чисел. Например, 1/2, 3/4 или 5, которое можно записать как 5/1. Их главное отличие от иррациональных заключается в записи [4]. Если представить рациональное число в виде десятичной дроби, оно либо заканчивается (например, 3/4 =0,75), либо знаки после запятой начинают повторяться (например, 1/3=0,333…).
Иррациональные числа не подчиняются этим правилам. Их десятичная запись бесконечна и не обладает повторяющимся шаблоном.
Примеры иррациональных чисел
Иррациональные числа встречаются повсюду, поэтому многие из них известны даже тем, кто не увлекается математикой.
- Число π (Пи). Одно из самых известных иррациональных чисел, равное отношению длины окружности к ее диаметру. Число Пи используется, например, для вычисления площади круга. Его значение начинается с 3,14159… и продолжается бесконечно.
- Число Эйлера (e). Используется в логарифмах и для описания экспоненциального роста [5]. Его значение примерно равно 2,71828…
- Золотое сечение (φ). Это отношение частей к целому, при котором большая часть относится к меньшей так же, как целое относится к большей части [6]. Такая пропорция часто встречается в архитектуре, природе и искусстве. Значение φ примерно равно 1,61803…
Иррациональные числа в геометрии
Иррациональные числа играют важную роль в геометрии. Они появляются в формулах, описывающих длины, площади и другие свойства фигур.
- Диагональ квадрата. Если длина стороны квадрата равна 1, то его диагональ равна √2. Это число невозможно выразить в виде дроби, поэтому оно является иррациональным.
- Окружность. Формула длины окружности включает число π, которое является иррациональным. Например, длина окружности равна 2πr, где r — радиус.
- Золотое сечение. Это иррациональное число играет важную роль в пропорциях правильных многоугольников, таких как пятиугольники и звезды.
Читайте также:
➤ Подписывайтесь на телеграм-канал «РБК Трендов» — будьте в курсе последних тенденций в науке, бизнесе, обществе и технологиях.