Математика, вселенная чисел и фигур, не меньшее загадочна и притягательна, чем самая чистая любовь. Пифагор, знакомый многим из школьных уроков, даже считал математику выше всех человеческих чувств. Возможно, к таким неоднозначных и мистическим выводам его подтолкнуло проживание в Египте более половины своей жизни, когда он обучался математике у египетских жрецов. Его учение дало миру известную теорему, которая сегодня стала символом математической науки — теорему Пифагора. Кто не слышал о «Пифагоровых штанах»?
Тем не менее, существует и другая всемирно известная теорема, носившая имя выдающегося математика. Пьер Ферма, французский математик XVI-XVII веков, сформулировал её, но не доказал. Ему, вероятно, казалось, что доказательство у него уже есть, - и это породило загадку, занимавшую умы математиков следующие 350 лет. Так возникла Великая теорема Ферма.
Её формулировка настолько ясна и проста, что любой школьник сможет понять, о чём идёт речь:
Для любого натурального n > 2, уравнение “a^n + b^n = c^n” не имеет решений в целых ненулевых числах a, b, c.
Простота этого утверждения притягивала многих, и многие думали: «Это же так просто! Что тут решать!»
Но почему же на протяжении трёх с половиной столетий математические гении не могли найти доказательства?
Напомним теорему Пифагора, соответствующую уравнению “a^2 + b^2 = c^2”, где a, b и c — натуральные числа, и у этого уравнения есть решения. Например, 3, 4 и 5 прекрасно иллюстрируют это соотношение. Это говорит о том, что существует не одно, а множество натуральных чисел, квадрат одного из которых можно представить как сумму квадратов двух других.
В отличие от этого, суть Великой теоремы Ферма такова: не существует ни одного натурального числа, куб которого мог бы равняться сумме кубов двух других чисел. Это правило верно и для любых других натуральных степеней: 4, 5, 6 и так далее, - тех, что больше 2. Оставалось “лишь” это доказать.
На протяжении веков сотни механиков и инженеров искали способы создать вечный двигатель, изобретающий энергию из ничего, но вскоре физики открыли закон сохранения энергии. Энергия, как выяснилось, не может бесследно исчезать, и такой двигатель остался несбыточной мечтой. Поэтому все проекты вечных двигателей без обсуждения отклонялись патентными бюро.
Теорема Ферма в математике стала неким аналогом этого вечного двигателя. Простое утверждение привлекло множество исследователей, и, хотя доказательства часто отклонялись, математиков связывала серьёзность задачи. Математика требует строгих фактов, и недоказанных утверждений попросту не существует. Именно это и двигало многих попробовать свои силы в доказательстве.
Число стремившихся решить задачу Ферма только возрастало. Более трёх веков теорема была доказана лишь для множества частных случаев, но общее доказательство так и не было найдено. Казавшаяся простой задача на самом деле была невероятно сложной. Доказательство Великой теоремы Ферма было найдено лишь в 1994 году гениальным английским математиком Эндрю Уайлзом. Его достижения были отмечены Абелевской премией в 2016 году — наградой, сопоставимой с Нобелевской для естествоиспытателей.
Дальнейшее устранение оставшихся недочётов происходило вместе с математиком Ричардом Тейлором. Поэтому доказательство носит имя Уайлза-Тейлора. Для людей, далёких от математики, могло показаться, что это событие ознаменовало завершение целой эпохи. Теорема Ферма долгое время считалась самой значительной математической загадкой, о которой писали и говорили во всем мире. И вот, когда её доказали, встаёт вопрос:
Что же теперь делать в математике?
Однако, как оказалось, "жизнь только начинается".
Доказательство Уайлза-Тэйлора открыло новые горизонты, основанные на революционных методах, которые уже начали использоваться для доказательства других глубинных гипотез в современной математике. Эти методы, хоть и выходят за рамки простого объяснения, стали важным вкладом в область теории чисел и алгебраической геометрии.
В то же время, за восемь лет до грандиозного достижения Уайлса, в 1985 году учёные Массер и Остерле сформулировали гипотезу, объединяющую под одной крышей множество как решённых, так и нерешённых диофантовых уравнений. Это новое направление исследований продолжает вдохновлять математиков, подводя их к новым вопросам и открытиям в области числовых теорий.
Путь к доказательству теоремы Ферма был длительным и трудным, и его можно проследить в замечательной книге Саймона Сингха «Великая теорема Ферма».
Пьер Ферма не занимался натуральной философией, как это делали Декарт и Паскаль. Его истинной страстью была математика, в которой он достиг в высшей степени выдающихся результатов. Он заранее предвосхитил Ньютоновские и Лейбницевские методы дифференциального исчисления и независимо открыл аналитическую геометрию. В то же время, его наибольшие успехи были в теории чисел, которую он сам основал — эту область математики иногда называют высшей арифметикой.
Высшая арифметика может показаться комичной тем, кто считает, что освоил арифметику ещё в школе. На самом деле, именно решая всё более отдалённые от реальности задачи, математики постепенно доходили до основных принципов этой науки. Математики и сейчас не могут однозначно определить, что такое число. Впрочем, физики тоже не в силах объяснить, как устроен изучаемый ими мир. Для своих исследований физики строят массивные установки, ускорители частиц и коллайдеры, тогда как математики довольствуются лишь бумагой и карандашом.
Спасибо, что дочитали статью до конца.
Подписывайтесь на канал Архаика, если вам было интересно, и ставьте лайки понравившимся статьям и комментируйте, - так я вижу, какие темы освещать в будущем. Вы очень поможете мне в развитии канала.
Также приглашаю вас почитать другие статьи на моём канале: