Он появился на свет 16 февраля 1941 года в простой московской семье. Мать будущего актёра работала парикмахером, отец был слесарем в Курчатовском институте. Ранние годы Юры омрачила война — глава семейства ушёл воевать на фронт, а сам мальчик вместе с мамой отправился к бабушке в Рязань. Путь оказался долгим и опасным — два месяца мать с сыном сплавлялись на барже по Оке, чудом избегая вражеских обстрелов.
Когда война кончилась, семья обосновалась в тогда ещё подмосковном Щукино, где Юра вскоре пошёл в первый класс. Парень рос настоящим хулиганом, а его дневник неизменно пестрел «неудами» за поведение. Мягкая и любящая мама не решалась наказывать сына, а потому воспитанием занимался отец — за провинности частенько отстригал наследнику волосы прямо под корень. Правда очень скоро золотые кудри Юры отрастали обратно.
Лишь в седьмом классе школьник наконец взялся за ум. Тогда их класс объединили с девчонками, и Юра больше не позволял себе дерзкие выходки. К тому же в его жизни появился театр. Кузьменков записался в школьный драмкружок, а его дебютом на сцене стала роль Демона в одноимённой постановке по Лермонтову. О талантливом юном актёре даже написали в газете, сопроводив статью фотографиями молодого дарования.
Окрылённый первым успехом, Юрий Кузьменков решил сходу попасть в труппу Театра имени Моссовета. У него уже завязалась дружба с местным реквизитором, который помогал парню готовиться к роли Демона. Каково же было разочарование юноши, когда вместо того, чтобы доверить ему сразу несколько главных ролей, его отправили сначала поучиться в студии при театре. Однако Юрий быстро смирился с учёбой и стал прилежно постигать азы актёрского мастерства. После выпуска его наконец зачислили в труппу заветного Театра Моссовета, которому актёр оставался верен до конца дней. Этой сцене он посвятил почти полвека, играл в постановках «Василий Тёркин», «Мамаша Кураж и её дети», «Белая гвардия», «Вишнёвый сад», «Сирано де Бержерак».
На киноэкран он попал ещё студентом, когда сыграл в эпизоде фильма «Именем революции». А вскоре Кузьменкову доверили и первую главную роль — режиссёр Николай Литус пригласил его сыграть аса Андрея военной драме «Дни лётные». Всесоюзная слава пришла к актёру после премьеры ленты Алексея Коренева «Вас вызывает Таймыр». Кузьменков блестяще справился с образом романтичного геолога Дюжикова, завоевал доверие режиссёра и первую зрительскую любовь.
Когда Коренев задумал снимать многосерийный фильм о вечерней школе «Большая перемена», то в роли старосты Вани Федоскина уже видел Юрия Кузьменкова. После выхода фильма на экраны актёра стали узнавать на улицах — поклонники хотели поздороваться, поговорить, взять автограф. Сотрудничество с Алексеем Кореневым продолжилось — Кузьменков сыграл космонавта Иволгина в фильме «Три дня в Москве» и водопроводчика Митюхина в ленте «По семейным обстоятельствам».
В 1980-м году 39-летнему Юрию Кузьменкову было присвоено звание Заслуженного артиста. Его карьера продолжала идти в гору, режиссёры засыпали актёра предложениями о съёмках. Впереди могло бы быть много ярких ролей, если бы не внезапная трагедия, которая разделила жизнь Юрия Кузьменкова на две половины. Зимой актёр поехал к жене и сыну в подмосковный пансионат. Накануне подморозило, и дорога оказалась невероятно скользкой. На одном из поворотов «Жигули» актёра сильно занесло и выбросило на встречную полосу. Произошло лобовое столкновение, в результате которого Кузьменков получил тяжелейшие травмы.
Больше всего пострадало лицо. Чтобы срослись переломанные в нескольких местах кости челюсти, актёру установили металлические шины-каркасы. Поначалу заживление произошло неправильно и врачам ещё несколько месяцев приходилось вытягивать кости с помощью специальных аппаратов. Всё это время актёр оставался прикован к больничной койке. Лишённый возможности сниматься и выходить на сцену, Кузьменков начал искать забвение в алкоголе. Его терзали сомнения — удастся ли восстановить дикцию, останется ли узнаваемым лицо?
Лишь спустя год Юрий Кузьменков вернулся в театр. В кино за это время о нём почти забыли — сниматься теперь приглашали раз в несколько лет. В середине 90-х актёр появился в образе мужика с козой в комедии «Ширли-мырли», позже сыграл в сериалах «Д.Д.Д. Досье детектива Дубровского», «Тайны дворцовых переворотов. Россия, век XVIII», «На углу у Патриарших», «Брежнев». Незадолго до смерти Юрий Кузьменков снялся сразу в нескольких картинах — сыграл соседа по гаражу в «Бомбиле», деда Ивана в «Пилоте международных авиалиний», Петра Евгеньевича в «Салями», Лунина в «БАгИ».
Свою любовь Юрий Кузьменков нашёл ещё в театральной студии. Обаятельная актриса Галина Ванюшкина сразу покорила сердце одногруппника и уже на третьем курсе они сыграли скромную, но весёлую свадьбу. Впоследствии Галина служила вместе с мужем в Театре Моссовета, ставила спектакли. Вместе с Юрием они прожили полвека, воспитали сына Степана. Единственный наследник выбрал серьёзный путь дипломата — был советником в постоянном представительстве России в ООН, занимался вопросами гуманитарного сотрудничества и культурных связей.
Своё 70-летие Юрий Кузьменков с супругой отметил в гостях у сына в Швейцарии, где тот обосновался с женой и тремя детьми. Торжество в семейном кругу зарядило актёра энергией, у него было много творческих планов. Никто и подумать не мог, что до своего следующего дня рождения Юрий Кузьменков уже не доживёт. 11 сентября 2011 года он скончался от сердечного приступа на подмосковной даче, которую своими руками выстроил в деревне Жабкино. Согласно последней воле актёра его похоронили на небольшом тихом участке в тени деревьев на местном сельском кладбище.