Здравствуйте! Сегодня хочу поделиться с вами видеокурсом по теме "Первообразная и интеграл".
Этот видеокурс рассчитан на учеников 10-11 класса и студентов 1 курса техникума или колледжа.
Видеокурс начинается с определения первообразной, рассматриваем основное свойство первообразной и правила нахождения первообразных. Затем переходим к понятию неопределенного интеграла, разбираем свойства и составляем таблицу неопределенных интегралов. Переход к понятию определенного интеграла - задача о нахождении площади криволинейной трапеции с помощью первообразной. На уроке "Определенный интеграл" рассматриваем определение, свойства, формулу Ньютона-Лейбница, алгоритм нахождения определенного интеграла, геометрический смысл определенного интеграла, площадь криволинейной трапеции.
Все темы сопровождаются практическими занятиями с разбором примеров и упражнений. Объяснение ведется на простом языке. Видеокурс «Первообразная и интеграл» адресован тем, кто хотел бы освоить тему «с нуля». Все уроки размещены в открытом доступе.
Всего получилось 11 основных уроков (обязательных) + дополнительно не нумеровала практические занятия, доказательства, пояснения - всё вместе 30 видео. В конце есть разбор примера контрольной работы, таблица первообразных, таблица неопределенных интегралов и опорный конспект “Вычисление площадей плоских фигур”.
Список видеоуроков со ссылками:
Урок 1. Первообразная. Определение.
Урок 2. Основное свойство первообразной.
Урок 3.Правила нахождения первообразных. Таблица первообразных.
Урок 4. Нахождение первообразных. Практика.
Найдите общий вид первообразных для функции. Примеры нахождения первообразных. 24 примера.
Урок 5. Неопределенный интеграл.
Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица неопределенных интегралов.
Урок 6. Непосредственное интегрирование.
Практическое занятие по теме “Неопределенный интеграл”. Метод непосредственного интегрирования.
Практическое занятие: "Неопределенный интеграл".
Метод непосредственного интегрирования.
Задания для самостоятельного решения по теме: «Неопределенный интеграл».
Что такое интеграл?
На этом уроке мы поговорим об интегралах. А именно, какой математический смысл они несут. Как первообразная связана с площадью фигуры под графиком? Откуда берется значок интеграла?
Урок 7. Площадь криволинейной трапеции.
Переход к понятию определенного интеграла. Задача о нахождении площади криволинейной трапеции с помощью первообразной. Разбор формулы на конкретном примере. Теорема о нахождении площади криволинейной трапеции.
Интеграл и задача об определении площади. Доказательство к уроку 7.
Г.М. Фихтенгольц. Основы математического анализа. 156. Интеграл и задача об определении площади.
Урок 8. Определенный интеграл.
1) Приращение первообразной зависит только от заданной функции f и чисел a и b (не зависит от выбора первообразной).
2) Определенный интеграл. Определение. Формула Ньютона-Лейбница. Алгоритм нахождения определенного интеграла. Пример.
3) Геометрический смысл определенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции. Пример.
4) Сравнение неопределенного и определенного интеграла.
5) Основные свойства определенного интеграла.
6) Пример нахождения определенного интеграла, использование свойств.
7) Может ли определенный интеграл быть отрицательным числом?
Урок 9. Определенный интеграл как предел суммы.
Мы ввели понятие определенного интеграла как приращение первообразной. В таком понимании формула Ньютона-Лейбница выражает определение определенного интеграл. Но существует другой подход к введению понятия определенного интеграла, основанный на применении теории пределов. Согласно новому определению определенный интеграл – это предел интегральной суммы, число членов которой неограниченно возрастает, а каждое слагаемое стремится к нулю. При таком подходе к понятию определенного интеграла формула Ньютона-Лейбница не вводится по определению, а появляется в конце и строго доказывается. В этом видео мы рассматриваем другой подход к введению определенного интеграла, чтобы понять, что интегрирование – это процесс суммирования, т.е. нахождение целого путем суммирования его частей.
Определенный интеграл. Суть определения на примере.
Согласно новому определению определенный интеграл – это предел интегральной суммы, число членов которой неограниченно возрастает, а каждое слагаемое стремится к нулю. Это определение достаточно сложное, нам важно понимать только его суть, поэтому сегодня мы разберем оба определения на конкретном примере, чтобы понять, что интегрирование – это процесс суммирования, т.е. нахождение целого путем суммирования его частей.
Урок 10. Вычисление определенных интегралов.
Найти определённый интеграл по формуле Ньютона-Лейбница.
Определённый интеграл. Практическое занятие.
Часть 1.
Найти определённый интеграл по формуле Ньютона-Лейбница. Учебник А.Г. Мерзляк: Алгебра и начала математического анализа.
Часть 2.
Найти определённый интеграл по формуле Ньютона-Лейбница. Учебник Ш.А. Алимов: Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы.
Часть 3.
Найти определённый интеграл по формуле Ньютона-Лейбница. Сложная функция. Учебник А.Г. Мерзляк: Алгебра и начала математического анализа.
Урок 11. Вычисление площадей плоских фигур.
Опорный конспект!!! Площадь криволинейной трапеции. Как найти площадь фигуры с помощью определенного интеграла?
Вычисление площадей плоских фигур. Практическое занятие.
Упражнение 1.
Площадь криволинейной трапеции. Найти площадь фигуры с помощью определенного интеграла. Учебник А.Г. Мерзляк: Алгебра и начала математического анализа. Упражнение номер 11.1.
Упражнение 2.
Площадь криволинейной трапеции. Найти площадь фигуры с помощью определенного интеграла. Учебник А.Г. Мерзляк: Алгебра и начала математического анализа. Упражнение номер 11.5.
Упражнение 3.
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x^2-4x+5, y=5. Учебник А.Г. Мерзляк: Алгебра и начала математического анализа. Упражнение номер 11.10.(6)
Упражнение 4.
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: y=2+x-x^2, y=2-x. Учебник А.Г. Мерзляк: Алгебра и начала математического анализа. Упражнение номер 11.10.(7)
Упражнение 5.
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x^2, y=sqrt(-x).
Упражнение 6.
При каких значениях a площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2, y=0 и x=a, равна 9? Учебник А.Г. Мерзляк: Алгебра и начала математического анализа. Упражнение номер 11.13.
Упражнение 7.
Вычислите определённый интеграл, используя его геометрический смысл. Учебник А.Г. Мерзляк: Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Упражнение номер 11.27.
Разбор самостоятельной работы по теме «Интеграл».
Задание 1. Найдите неопределенный интеграл.
Задание 2. Вычислите определенный интеграл.
Задание 3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями. Площадь криволинейной трапеции.
Разбор контрольной работы по теме: «Интеграл и его применение».
Контрольная работа по теме: «Интеграл и его применение». Разбор.
А.Г. Мерзляк: Алгебра и начала математического анализа. 11 класс.
Определенный интеграл. Площадь фигуры. Первообразная. Геометрический смысл определенного интеграла.
Таблица первообразных:
Таблица неопределенных интегралов:
Опорный конспект “Вычисление площадей плоских фигур”: