Если x₁ и x₂ — корни квадратного уравнения: ax²+bx+c=0,
то любые выражения, которые не меняются при перестановке x₁ и x₂, называются симметрическими.
Выражения, симметрические относительно корней уравнения, — это такие алгебраические выражения, которые зависят только от сумм и произведений корней, но не от их отдельных значений.
1️⃣ Telegram (новостная группа и связь):
💬 http://t.me/matvertikal
2️⃣ Электронная почта:
📧 matvertical@inbox.ru
3️⃣Канал YouTube
https://www.youtube.com/@Матвертикаль
Наиболее важными симметрическими выражениями являются сумма и произведение корней, которые связаны с коэффициентами уравнения по теореме Виета.
Основные симметрические выражения
Согласно теореме Виета, корни уравнения удовлетворяют соотношениям:
Эти два выражения являются базовыми, и через них можно выразить другие симметрические выражения.
Примеры симметрических выражений
1. Сумма квадратов корней:
Подставляя значения из теоремы Виета:
2. Сумма кубов корней:
Подставляя значения из теоремы Виета:
3. Сумма обратных значений корней (если x₁, x₂≠0):
Подставляя значения из теоремы Виета:
4. Сумма квадратов обратных значений корней:
Подставляя значения из теоремы Виета:
5. Разность квадратов корней:
(если корни действительные, т.е. b² − 4ac ≥ 0).
Подобные симметрические выражения можно строить для любых степеней корней, используя разложения по Виету.
Как использовать симметрические выражения?
Для нахождения значений выражений:
Если нужно вычислить значение симметрического выражения (например, x₁² + x₂² ), достаточно знать сумму и произведение корней (теорема Виета).
Для составления новых уравнений:
Если известны корни x₁ и x₂, можно составить новое квадратное уравнение, корнями которого будут симметрические выражения от x₁ и x₂.
Для упрощения задач:
Симметрические выражения часто используются в задачах на доказательство или в олимпиадных задачах.
Пример задачи
Задача:
Корни уравнения x² − 6x + 8 = 0 равны x₁ и x₂. Найдите значение выражения x₁² + x₂².
Решение:
По теореме Виета:
Используем формулу для суммы квадратов:
Подставляем значения:
Ответ: 20.
Симметрические выражения — это мощный инструмент для работы с корнями квадратного уравнения. Они позволяют находить значения сложных выражений, не вычисляя сами корни, а используя только коэффициенты уравнения. Это особенно полезно в задачах, где требуется доказательство или упрощение.
1️⃣ Telegram (новостная группа и связь):
🔔 http://t.me/matvertical
💬 http://t.me/matvertikal
2️⃣ Электронная почта:
📧 matvertical@inbox.ru
3️⃣Канал YouTube
https://www.youtube.com/@Матвертикаль
Где и как изучают симметрические выражения?
- Франция – Входит в курс старшей школы (Lycée, классы Terminale), особенно в алгебре и анализе. Ученики изучают симметрические выражения при решении квадратных уравнений, разборе теоремы Виета и теории многочленов.
- Германия – Рассматривается в рамках школьного курса алгебры (Gymnasium, Oberstufe). Симметрические выражения появляются при изучении свойств многочленов и их корней, а также при работе с системами уравнений.
- Великобритания – Входит в программу A-Level (Higher Mathematics). Симметрические выражения рассматриваются в контексте корней уравнений, теоремы Виета и комбинаторики.
- Финляндия – Симметрические выражения изучаются в рамках продвинутого курса математики в старших классах (Lukio). Здесь акцент делается на алгебраических тождеств и многочленах.
- Россия и Восточная Европа – В школьных программах стран бывшего СССР симметрические выражения рассматриваются в средней школе (8-9 классы), особенно в задачах на корни квадратных и кубических уравнений.
- Сербия, Хорватия, Босния и Герцеговина, Черногория – В школьных учебниках (гимназии и технические школы) симметрические выражения встречаются в курсе алгебры при изучении теоремы Виета и корней многочленов.
В математических гимназиях их рассматривают глубже, особенно в связи с разложением многочленов. - Словения – Включены в программу средней школы (gimnazija).
Используются при разборе свойств многочленов и квадратных уравнений. - Северная Македония – Симметрические выражения изучаются в старших классах, когда проходит курс алгебры с теоремой Виета и системой многочленов.
- Болгария – Входит в обязательную программу средней школы.
На олимпиадном уровне изучается глубже, с применением в теории чисел. - Греция – Включены в курс алгебры (Λυκείου) при изучении многочленов и функций.
- Албания – Изучаются в старших классах в контексте уравнений и теоремы Виета, но не всегда выделяются как отдельная тема.
Какие темы связаны с симметрическими выражениями?
- Теорема Виета (во многих странах – ключевая часть курса алгебры).
- Разложение многочленов на множители.
- Теория инвариантов (в более продвинутых курсах).
- Полиномиальная алгебра и симметрические функции (в математических классах).
Хотя в базовом курсе математики симметрические выражения могут изучаться поверхностно, в углубленных программах (олимпиадная математика, специализированные классы) им уделяют больше внимания.
Название симметрических выражений на других языках
Симметрические выражения в разных странах называются по-разному, но чаще всего их связывают с теоремой Виета и симметрическими многочленами. Вот как они обозначаются в разных языках:
- Русский – Симметрические выражения
- Белорусский – Сіметрычныя выразы
- Польский – Wyrażenia symetryczne
- Чешский – Symetrické výrazy
- Словацкий – Symetrické výrazy
- Словенский – Simetrični izrazi
- Сербский – Симетрични изрази
- Хорватский – Simetrični izrazi
- Болгарский – Симетрични изрази
- Македонский – Симетриски изрази
- Английский – Symmetric expressions или symmetric polynomials
- Французский – Expressions symétriques или polynômes symétriques
- Немецкий – Symmetrische Ausdrücke или symmetrische Polynome
- Испанский – Expresiones simétricas или polinomios simétricos
- Итальянский – Espressioni simmetriche или polinomi simmetrici
- Португальский – Expressões simétricas
- Финский – Symmetriset lausekkeet
- Латынь – Expressiones symmetricae
- Греческий – Συμμετρικές εκφράσεις
- Венгерский – Szimmetrikus kifejezések
__________________________
Для поиска:
Дискриминант, симметрические выражения, корни, квадратное уравнение, теорема Виета, квадратичная функция, действительные корни, мнимые корни, старший коэффициент, Диагностика, диагностическая работа Промежуточная диагностическая работа, матвертикаль математическаявертикаль вертикаль учеба обучение школа ученик геометрия математика волчкевич задача задачи 8класс 2024 2025 math maths mathematics mathematician geometry, решение, Математика, Алгебра, Геометрия, ТВиСТ, Ститистика, Теория Вероятности, Теория вероятностей, Решуогэ, Решу, 2024, 2025, ФИПИ, Задача, Задание, Vieta's formulas
#матвертикаль #математическаявертикаль #вертикаль #учеба #обучение #школа #ученик #алгебра #математика #волчкевич #задача #задачи #8класс #2024 #2025 #math #maths #mathematics #mathematician #algebra