На канале Валерия Казакова Наглядная геометрия помещена задача под заголовком Задача отличницы. № 2. Со звёздочкой!
1. В трапеции ABCD проведены диагонали, O — точка их пересечения. Площади треугольников AOB и BOC равны соответственно 6 и 4. Найдите площадь трапеции.
Решение, показанное ведущим канала, в заключительном кадре выглядит так.
Источник. Наглядная геометрия. Задача отличницы. № 2. Со звёздочкой! https://dzen.ru/video/watch/66bb9c5b46de4626b83f95f0
В решении задачи использовалось отношение площадей подобных треугольников, а мы решим задачу «бесподобно», то есть без применения подобия треугольников.
В пункте 3) авторского решения доказано, что площади треугольников ABO и CDO равны. Помнится, этот факт мне довелось доказывать на городской математической олимпиаде в 7 классе (1965 г.), в маленьком городке Нелидово Калининской области (20 тыс. жителей). Тогда я занял первое место в городе и успех окрылил меня. А доказательство равенства площадей треугольников AOB и COD у меня было проще. Итак, переходим к «бесподобному» решению задачи.
Решение. Треугольники ABD и ACD имеют общее основание CD и равные высоты, поэтому их площади равны. Если из этих равных площадей вычесть поровну — площадь треугольника AOD, то останется поровну, поэтому площади треугольников AOB и COD равны и равны 6.
Треугольники AOB и BOC имеют общую вершину, а стороны, противолежащие этой вершине, лежат на одной прямой, поэтому у них равны высоты и отношение их площадей равно отношению длин оснований.
По той же причине отношение площадей треугольников AOD и COD равно отношению длин тех же оснований, поэтому S(AOB) : S(BOC) = S(AOD) : S(COD), или 6 : 4 = S(AOD) : 6, откуда следует, что S(AOD) = 9, а площадь трапеции равна 6 + 4 + 6 + 9 = 25.
Ответ. 25.
Вот ещё одна задача с того же канала.
2. Точки K и M делят стороны треугольника ABC в отношении AK : KB = 1 : 2 и
BM : MC = 1 : 1. Отрезки AM и CK пересекаются в точке O. Площадь четырёхугольника KBMO равна 5. Найдите площадь треугольника ABC.
Источник. Крафтовая задача! (Авторский контент). https://dzen.ru/video/watch/6745cad0339b386c816ecb62
Решение с дополнительными построениями и с применением два раза теоремы Фалеса можно посмотреть по ссылке, а мы воспользуемся только свойством площадей, которое на канале обсудили на маленьком треугольнике, изображённом справа.
Решение. Проведём отрезок OB и обозначим площади треугольников AKO и CMO a и b соответственно.
Из заданных по условию задачи отношений отрезков следует, что площади треугольников KBO и MBO равны 2a и b соответственно. Так как площадь треугольника KBC, равная 2a + 2b, в два раза больше площади треугольника AKC, то площадь треугольника AOC равна b.
Из равенства площадей треугольников AOC и MOC следует равенство площадей треугольников AOB и MOB, то есть верно равенство равны b = 3a. По условию задачи 2a + b = 5, то есть 2a + 3a = 5, откуда следует, что a = 1, b = 3.
Тогда искомая площадь равна 3a + 3b = 3 + 9 = 12.
Ответ. 12.
Приведённые примеры показывают, что иногда взрослым мешают «лишние» знания, они решают задачу сложно. Древние говорили: «Многие знания — многие печали». А учащимся лучше показывать более простые решения, да ещё и в более раннем возрасте.