Сегодня один из участников нашего физ-мат telegram-канала Physics.Math.Code предложил интересную задачу. В итоге подвис наш Техночат в размышлениях над ней. Но в итоге решение было найдено. Кто-то пробовал решать задачу через нейросеть или интуицию. Получали ответы в 30°, 75° и 120°. Чуть позже, когда в чате сделали подробные рисунки, мы поняли, что там точно получается прямой угол, но как это доказать... Первое, что мне пришло на ум, так это попробовать результаты теоремы косинусов для треугольников ADP и PEC, чтобы потом их объединить в проверке теоремы Пифагора для треугольника DPE, но это не увенчалось успехом... А сейчас рассмотрим как надо было.
Задача
Дан произвольный треугольник △ABC. Угол ∠ABC равен 120° градусам. D принадлежит стороне AB. Е принадлежит стороне BC. AD = DE = EC. Точка P - середина основания AC. AP = PC. Найти угол ∠DPE.
Решение:
Для начала сделаем рисунок, который будет больше похож на заданные величины углов и расстояний в нашей задаче:
Здесь же мы введем некоторые обозначения. Пусть ∠BAC = α и ∠BCA = β. Ну а угол ∠ABC = 120° по условию. Тогда получится, что α + β = 60°.
Пусть AD = DE = EC = x и AP = PC = y.
Сделаем дополнительные построения: Продолжим прямую DP вниз так, чтобы отложить вниз отрезок PF, который будет равен DP. Т.е. по построениям мы получи DP = PF.
По построению мы получим, что отрезки AC и DF пересекаются в точке P и делятся в ней пополам. Это значит, что ADCF - параллелограмм. Тогда FC = AD = x. А также ∠DAC = ∠ACF = α.
Рассмотрим △FEC: EC = CF = x. Угол ∠ECF = ∠ACF + ∠BCA = {из ранее доказанного} = α + β = 60°. Получаем, что △FEC - равнобедренный с углом 60° при вершине. Значит он равносторонний. Тогда EC = CF = EF = x.
Рассмотрим △DEF: Треугольник равнобедренный т.к. DE = EF. EP - медиана, т.к. DP = PF. Поэтому это медиана в равнобедренном треугольнике. Значит PE - высота. Тогда искомый угол ∠DPE = 90°. Ответ: 90°.
Полное решение:
Кстати, хочу показать вам как обделалась типичная нейросеть на этой задаче:
Мало того, что она выдала неверный ответ, так еще и не смогла составить логические суждения. И это для максимально подробно расписанного условия. Так что не верьте в ИИ, верьте в знания, которые передают друг другу люди. Верьте в книги. Нейросеть вас не спасет при решении важной задачи.
А вот и неудачная попытка подвести всё к теореме Пифагора:
Понравилась задачка? Тогда поставьте лайк и оставьте свой комментарий. Вам не сложно, а мне приятно и понятно про что писать, чтобы вам нравилось. 😉
Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Лучший канал для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в telegram