Эта статья посвящена двум публикациям в Интернете, связанным с решением уравнений в натуральных числах, обходящихся совсем без математической теории.
К задаче Л. Ф. Магницкого мы ещё вернёмся, а начать надо с задачи из ВПР для 4 класса по математике, опубликованной 15 апреля 2023 года.
1. Люда вырезала из бумаги несколько пятиугольников и семиугольников. Всего у вырезанных фигурок 31 вершина. Сколько пятиугольников вырезала Люда? Запиши решение и ответ.
Решение подробно разъяснено.
Его можно прослушать по ссылке:
https://ya.ru/video/preview/11425576963181089541
Детям предлагается разделить число вершин на меньшее число углов в фигуре — на 5. Получается 6 и в остатке 1, то есть 6 пятиугольников и одна лишняя вершина, с помощью которой из пятиугольника не образуешь семиугольник.
Возьмём меньше пятиугольников — 5. У них 25 вершин, осталось 31 – 25 = 6 вершин. Следующее действие не записано: 7 – 5 = 2 (верш.) надо добавить, чтобы из пятиугольника получить семиугольник. Получится 6 : 2 = 3 (семиугольника) и 5 – 3 = 2 (пятиугольника).
Кадр завершается словами «Задача решена», а мы возразим: в решении не показано, что нет других решений.
Давайте решим аналогичную задачу тем же методом.
2. Люда вырезала из бумаги несколько пятиугольников и семиугольников. Всего у вырезанных фигурок 47 вершин. Сколько пятиугольников вырезала Люда? Запиши решение и ответ.
Решение.
1) 47 : 5 = 9 (ост. 5) — получилось 9 фигур по 5 углов и 2 вершины в остатке,
2) 7 – 5 = 2 (вершины) — надо добавить пятиугольнику, чтобы получить семиугольник,
3) 2 : 2 = 1 (семиугольник),
4) 9 – 1 = 8 (пятиугольников).
Ответ. 8.
Всё? Задача решена? А вот и нет, пропущен случай: 1 пятиугольник и 6 семиугольников.
Ну и зачем составители ВПР «бегут впереди паровоза», давая в 4 классе задачи, решаемые «лайфхаком» — делай, как я, не важно, что мы показываем неполное решение?
Покажем правильное решение этой задачи не для учащихся 4 класса, а для их учителей и родителей.
Обозначим число пятиугольников П, а число семиугольников С. Тогда общее число вершин вычисляется так: 5П + 7С = 47.
Вот теперь вернёмся к задаче Л. Ф. Магницкого.
3. 12 человек несут 12 хлебов. Каждый мужчина несёт по 2 хлеба, каждая женщина — по половине хлеба, а каждый ребёнок по четверти хлеба. Сколько было мужчин, женщин и детей?
Решение можно прослушать по ссылке, оно выполнено полным перебором всех случаев, приводит к правильному ответу и понятно по заключительному кадру.
Источник. Александр Долгих. Эта задача 300 лет мучила учащихся. https://dzen.ru/video/watch/679673a9b8d7b42c95e683f9?ysclid=m6e8j31lq773966955
Пользуясь теми же обозначениями, отметим, что из равенств
М + Ж + Д = 12,
2М + 0,5Ж + 0,25Д = 12
теми же действиями приходим к равенству
7М + Ж = 36,
из которого выразим число мужчин: М = (36 – Ж) : 7, 1 ≤ М ≤ 5, мужчин не может быть 6 и больше, иначе на детей и женщин не хватит хлебов.
Наименьшее Ж, для которого М — натуральное число, равно 1. Тогда М = 5, а
Д = 12 – 5 – 1 = 6.
Следующее значение Ж, для которого М — натуральное число, равно 8. Тогда
М = 4, а Д = 12 – 8 – 4 = 0 — не удовлетворяет условиям задачи. При больших значениях Ж, оно больше 12, что противоречит условиям задачи.
Ответ. Мужчин, женщин и детей 5, 1 и 6 соответственно.
Включение задач про пятиугольники и семиугольники в ВПР для четвероклассников требует от учителей обучению детей неполному способу решения задачи. Ничего полезного эта практика не даёт.