Вам предлагают выбрать одну из трех дверей, зная, что за одной из них спрятан новый автомобиль, а за двумя другими — козы. Ведущий игры, Монти Холл, просит вас выбрать дверь. Вы выбираете Дверь 1.
Затем Монти открывает Дверь 2, за которой оказывается коза. Он предлагает вам переключиться на Дверь 3 или остаться с вашим первоначальным выбором. Что вы сделаете?
Большинство людей решают остаться при своем выборе по чисто психологическим причинам. Те, кто пытается подойти к вопросу логически, приходят к выводу, что это не имеет значения — шансы 50 на 50. Ведь осталось две двери, и у нас нет информации о том, за какой из них стоит автомобиль... или есть?
На самом деле, оптимальная стратегия — переключиться, что удваивает ваши шансы на выигрыш!
Это и есть парадокс Монти Холла. Несмотря на то, что это решенная задача — ее решение широко принято и математически доказано, — она остается источником путаницы, недоверия и даже возмущения.
Типичные объяснения только сильнее запутывают скептиков. Здесь я объясню, почему так происходит. Считайте это мета-объяснением.
История, если вам интересно
Парадокс Монти Холла назван в честь ведущего шоу «Давай заключим сделку», популярного в 1960-х годах. Участники выбирали одну из трех дверей, за одной из которых скрывался главный приз, а за двумя другими — более скромные призы, иногда козы. В оригинальном формате шоу правила были менее строгими: иногда Монти предлагал деньги вместо переключения, а иногда его действия зависели от того, что выглядело более эффектно для телевидения.
Но в 1990 году Мэрилин вос Савант в своей колонке «Спроси Мэрилин» упростила сценарий до математической задачи. Монти всегда открывает дверь с козой и всегда предлагает переключиться. Результат? Переключение — лучший выбор, удваивающий ваши шансы на выигрыш с 1/3 до 2/3.
С этого момента начались споры. Профессора, математики и скептики завалили вос Савант письмами, утверждая, что она ошибается. Некоторые отказывались верить даже после того, как математическое доказательство было представлено.
Рассказ против математики
В основе парадокса Монти Холла лежит конфликт между интуицией и абстракцией. Когда мы сталкиваемся с этой задачей, наш ум склонен фокусироваться на повествовании — человеческих, психологических аспектах ситуации. «А вдруг Монти хочет меня обмануть?» и тому подобное.
Эти вопросы естественны, но они не имеют значения. Математические модели не заботятся о мотивах Монти или ваших проблемах с доверием. Они представляют собой абстракции, чистые упрощения, созданные для того, чтобы выявить и объяснить вероятности. Они убирают всю сложность человеческого поведения, чтобы дать нам четкий ответ.
В реальной жизни нам, возможно, пришлось бы задаваться психологическими вопросами. Но в этом парадоксе единственный способ найти решение — довериться абстракции.
Итак, чтобы понять решение, мы должны понять строгие правила игры и согласиться с тем, что решение абстрактной задачи решает и оригинальную проблему. Вот правила:
- Есть три двери. За одной из них автомобиль, за двумя другими — козы.
- Вы выбираете одну из дверей.
- Монти должен открыть другую дверь, за которой находится коза.
- У вас есть возможность переключиться на оставшуюся закрытую дверь.
Важно: в этой версии Монти можно представить как робота. (Можно добавить правило 3.1: если Монти может открыть дверь с козой за одной из двух, которые вы не выбрали, он всегда выбирает дверь с меньшим номером или бросает монету. Это убирает выбор Монти и не меняет шансы на выигрыш.)
В описанной выше стандартной версии Правило 3 не было сделано явным. Однако тот факт, что Монти знает, где находится автомобиль, и обязан открыть дверь с козой, которая не является вашей, — это ключевой момент, который делает всю задачу! Поэтому вы должны принять эти правила игры, чтобы понять, почему переключение лучше, чем остаться при своем выборе.
100 дверей, 99 коз
Рассмотрим объяснение, которое предпочитала Мэрилин вос Савант, — версию с «100 дверями и 99 козами». Это объяснение увеличивает масштаб задачи, чтобы сделать логику более интуитивно понятной. Преувеличение ситуации подчеркивает, почему переключение — лучший выбор.
Итак…
Вам предлагают выбрать одну из 100 дверей, зная, что за одной из них спрятан новый автомобиль, а за 99 другими — козы. Ведущий, Монти Холл, просит вас выбрать дверь. Вы выбираете Дверь 1.
Затем Монти начинает открывать двери, показывая коз за каждой из них. Он начинает с Двери 2 и открывает их одну за другой, пока не доходит до Двери 100. Любопытно, что Дверь 29 он оставляет закрытой. Он предлагает вам переключиться на Дверь 29 или остаться при своем выборе. Что вы сделаете?
Большинство людей признают, что пропуск одной из дверей из 99 выглядит достаточно убедительно, чтобы переключиться на нее.
Но вот в чем проблема этого объяснения.
Оно требует абстрактного мышления и способности переносить выводы из одной ситуации в другую. Увеличение масштаба задачи подчеркивает огромное преимущество переключения, но требует от слушателя понимания того, что логика версии с 100 дверями применима и к версии с 3 дверями.
Эта абстракция — осознание того, как вероятности и закономерности сохраняются в разных сценариях, — не является интуитивной для всех.
Многие люди фокусируются на конкретных числах или необычности сценария с 100 дверями, вместо того чтобы понять основной принцип перераспределения вероятностей. Без связи между преувеличенным примером и исходной задачей объяснение «100 дверей, 99 коз» рискует показаться несвязанным и неубедительным для тех, кто с трудом обобщает абстрактные концепции.
Исчерпывающий перебор
Еще один популярный способ объяснения парадокса Монти Холла — тщательный перебор всех возможных сценариев. Такой подход делает решение неоспоримым, показывая каждую потенциальную комбинацию событий и их исходы.
Когда вы изобразите это графически (как в таблице выше), проявится четкая закономерность:
- В ⅓ случаев победу приносит сохранение первоначального выбора (когда ваш первоначальный выбор оказывается правильным).
- В ⅔ случаев победу приносит переключение (когда автомобиль находится за одной из дверей, которую вы изначально не выбрали).
Это объяснение максимально наглядно. Тем не менее, даже у этого объяснения есть свои недостатки.
Метод исчерпывающего перебора требует рассмотрения каждого возможного сценария. Хотя этот подход логичен, количество случаев может показаться утомительным, и некоторые люди теряют из виду общую картину.
Даже увидев это, многие продолжают настаивать на том, что после того, как Монти открыл дверь с козой, вероятность должна быть равной 50:50 между оставшимися дверями. Метод исчерпывающего перебора может показать, что это не так, но не объясняет, почему это так, оставляя некоторых скептиков неубедившимися.
Объяснение с помощью симуляции
Если размышления о 99 козах или метод исчерпывающего перебора кажутся вам утомительными, существует другой способ разобраться с парадоксом Монти Холла: провести симуляцию. Этот подход не требует сложной математики — просто позвольте компьютеру сыграть в эту игру тысячи раз и подсчитайте, как часто выигрывают стратегии переключения и сохранения выбора.
Даже знаменитый математик Пол Эрдёш, известный своим скептицизмом к интуитивным аргументам, по слухам, поверил в это только после того, как увидел результаты симуляции. И знаете что? Вам не нужно быть математиком, чтобы провести её. Быстрый поиск в интернете приведет вас к инструментам, которые позволяют провести тысячу испытаний задачи Монти Холла за считанные минуты.
Я провел симуляцию обеих стратегий 2000 раз на одном из таких сайтов. Результаты удивительно близки к заявленным вероятностям ⅓ и ⅔.
Симуляция — это прямой и прагматичный способ продемонстрировать преимущество переключения. Она отсекает интуитивные догадки и сосредотачивается на холодных, твердых результатах. Эмпирическая наука побеждает!
Нажмите «Запустить симуляцию»! Однако даже у симуляции есть свои критики. Симуляция может показать, что переключение лучше, но она не объясняет, почему. Для тех, кто ищет более глубокое понимание, сухие цифры могут быть неудовлетворительными.
Ваш выбор против всего остального
Еще один способ объяснить парадокс Монти Холла — переосмыслить задачу как выбор между вашим первоначальным выбором и всем остальным. Этот подход акцентирует внимание на том, что переключение дверей фактически дает вам преимущество всех остальных невыбранных дверей. Он упрощает вероятности и подчеркивает, почему стратегия переключения лучше.
После того как вы сделали свой выбор, Монти открывает одну из двух оставшихся дверей и показывает козу. Это действие не изменяет вероятность вашего первоначального выбора:
- Дверь, которую вы выбрали, по-прежнему имеет ⅓ вероятность того, что за ней находится автомобиль.
- Вероятность ⅔ того, что автомобиль находится за одной из двух оставшихся дверей, не исчезает. Вместо этого действие Монти концентрирует эту вероятность на одной оставшейся закрытой двери.
Если вы решите переключаться ещё до начала игры, это будет похоже на то, как если бы вы сказали: «Я не доверяю своему первоначальному выбору с вероятностью ⅓. Вместо этого я делаю ставку на то, что автомобиль находится за одной из двух других дверей». Поскольку Монти всегда показывает козу за одной из этих двух дверей, ваша стратегия переключения гарантирует, что вы «унаследуете» объединенные шансы обеих дверей — ⅔ — после его открытия.
Именно поэтому переключение лучше. Дело не только в выборе одной двери — дело в том, чтобы воспользоваться открытием Монти и увеличить свои шансы благодаря вероятностям обеих оставшихся дверей.
Однако этот подход может заставить скептиков почувствовать, что игру исказили или превратили во что-то другое. Люди интуитивно воспринимают двери как отдельные сущности, а не как группы. Идея о том, что переключение дает вам преимущество «обеих» невыбранных дверей, кажется уловкой — ведь Монти оставляет только одну закрытую дверь, как она может представлять шансы двух дверей?
Байесовский подход
Любимое объяснение статистиков — байесовский подход. Он ничего не оставляет без внимания.
Однако вам нужно знать — или хотя бы верить — что обновление вероятностей на основе новой информации должно происходить с использованием правила Байеса.
Левая часть читается так: вероятность события А при условии В. Утверждение В обычно представляет собой что-то, что мы знаем или только что узнали. Допустим, мы выбрали Дверь 1 и только что узнали, что Монти открыл Дверь 3 и там коза.
Таким образом, мы хотим узнать вероятность того, что автомобиль находится за Дверью 2, при условии, что Монти показал нам козу за Дверью 3. Для этого мы используем правило Байеса. Для этого нам нужно знать три вероятности из правой части уравнения.
Во-первых, расчет:
Вероятность того, что Монти откроет Дверь 3, если автомобиль за Дверью 2, равна 1. У Монти нет выбора в этом случае.
Вероятность того, что автомобиль за Дверью 2 безусловно (так называемая априорная вероятность), равна ⅓. Это начальная вероятность правильного выбора двери.
Последняя вероятность — это вероятность того, что Монти откроет Дверь 3, но (!) без учета информации о местоположении автомобиля. Если представить, что Монти не знает, где находится автомобиль, вероятность того, что он откроет либо Дверь 3, либо Дверь 2, равна ½.
Вот и всё! Подставив эти числа в правило Байеса, мы получим вероятность ⅔ того, что автомобиль находится за дверью, которую вы не выбрали. То есть, переключаться!
Теперь вы можете подумать, что тот же расчет применим и к автомобилю за Дверью 1, вашему первоначальному выбору. Но нет! Последние две вероятности одинаковы, но первая — нет.
Вероятность того, что Монти откроет Дверь 3, если автомобиль за Дверью 1, не равна 1. В этом случае у Монти есть выбор — он может открыть либо Дверь 3, либо Дверь 2. Таким образом, вероятность составляет ½, и расчет показывает вероятность ⅓ того, что автомобиль за первоначально выбранной дверью.
Конечно, чтобы всё это понять, вам нужно будет пройтись по этим вычислениям в своем темпе и, возможно, пересчитать всё заново. Однако, если вы это сделаете, вы наверняка всё поймете.
Почему некоторые никогда не поймут
Дело не в математике — дело в том, как мы думаем. Парадокс Монти Холла заставляет нас преодолевать глубоко укоренившиеся интуитивные представления о справедливости, случайности и вероятности. Большинство людей инстинктивно верят, что все варианты должны быть равновероятными после открытия двери Монти, потому что так кажется справедливым. Идея о том, что информация (открытие двери Монти) может изменить вероятности, не меняя физической ситуации, глубоко неинтуитивна.
Ответ очевиден для тех, кто доверяет абстракции и придерживается математики: переключение выигрывает. Для тех, кто не может отвлечься от повествования — или не хочет, — никакое объяснение не будет достаточно.
Но это не просто игра. Парадокс Монти Холла — это микромир того, как мы подходим к задачам в жизни. Столкнувшись с сложными ситуациями, наши инстинкты часто вводят нас в заблуждение. Абстракции, упрощения и математическое мышление — это инструменты, которые помогают нам избавиться от шума, даже если они противоречат нашей интуиции.
Если вы хотите читать больше интересных историй, подпишитесь пожалуйста на наш телеграм канал: https://t.me/deep_cosmos