Целью данной статьи является краткое ознакомление Читателя с результатами нашего анализа теории спутниковой навигации (на примере спутников GPS) на предмет фактического использования в этой теории достижений и результатов специальной теории относительности (СТО), или наоборот их отсутствие.
Более полное и подробное изложение Читатель найдет в моем препринте «Orbital motion of satellites and changes in the rate of their clocks» от января 2025 г., опубликованном на сайте научно-исследовательского портала ResearchGate.net (ищите статью по DOI: 10.13140/RG.2.2.24114.93129, прямая ссылка: https://www.researchgate.net/publication/387658841_Orbital_motion_of_satellites_and_changes_in_the_rate_of_their_clocks. Там есть и текст на русском языке, см. файл satellites_changes_rate_their_clocks_ru, формат .pdf).
Зачем нам понадобился такой анализ? Дело в том, что в ноябре-декабре прошлого года мною наконец-то были получены значимые результаты в части описания изменения темпов течения времени для релятивистски движущихся материальных объектов. Эти результаты в области времени подтверждают ранее полученные новые сведения, используемые для построения новой СТО (по сути, обобщения и модернизации существующей).
Вместе с тем, мне были известны утверждения многих источников о том, что в теории спутниковой навигации используется СТО, и потому работа систем спутниковой навигации является блестящим подтверждением СТО, в том числе подтверждением изменения темпа течения времени на орбитальных спутниковых часах и прямым экспериментальным подтверждением «парадокса» близнецов. Эти утверждения прямо противоречат моим новым результатам [1], [2] в области изменения темпов течения времени для релятивистски движущихся материальных объектов.
Поэтому появилась настоятельная необходимость, прежде чем публиковать мои новые результаты в этой области СТО, разобраться, фигурально выражаясь, в том, «где же здесь собака зарыта». «Порылась», в другой известной интерпретации этого крылатого выражения. 😊
Это была преамбула. Переходим теперь к непосредственному изложению материала.
Первым идею о том, как можно было бы проверить общую теорию относительности с помощью спутников предложил в 1955 году Фридвардт Винтерберг [3]. Он предложил обнаружить замедления времени в сильном гравитационном поле с помощью точных атомных часов, размещенных на орбите внутри искусственных спутников. Сразу же и специально отметим, что в статье [3] Ф. Винтерберга речь идет об изменениях в ходе часов на спутниках исключительно и только вследствие эффектов общей теории относительности (ОТО), а не вследствие эффектов СТО.
Ф. Винтерберг: «… рассматриваемая проблема должна основываться не на специальной теории относительности, а на общей теории относительности в соответствии с наличием гравитационных полей».
И далее в своей работе автор использует исключительно и только уравнения А. Эйнштейна для гравитационного поля. Уравнения СТО им не используются вообще. Следовательно, вычисленный Ф. Винтербергом эффект замедления времени относится исключительно к гравитационному воздействию на ход спутниковых часов, а не к кинематическому (скоростному), характерному для СТО. Запомним это.
Далее в статье идет описание технических характеристик спутников систем TIMATION и GPS, а также об релятивистских эффектах и навигационных поправках, принятых для обеспечения точной работы спутников GPS, изложены краткие сведения по теории эффекта Доплера и о гравитационном замедлении времени. Мы, ради краткости изложения, эти разделы здесь пропускаем.
Теорию спутниковой навигации можно условно разбить на два основных раздела: теорию для орбитальных спутников GPS (источников сигнала) и теорию для наземных приемников сигнала. Наиболее полно обе теории изложены в работах [4], [5] Нила Эшби (Ashby N.), которые мы и будем использовать для своего анализа.
Кратко об авторе: Нил Эшби (Neil Ashby) - американский физик. Магистр и доктор философии (Ph.D. degrees), профессор физики, почётный профессор теоретической математической физики в Колорадском университете. Консультант Отдела времени и частоты Национального института стандартов и технологий, работал над релятивистскими эффектами в часах и глобальной синхронизацией времени. Его работа легла в основу общей релятивистской коррекции, которая была должным образом включена в Глобальную систему позиционирования.
По сути, Нил Эшби является одним из главных создателей как теории спутниковой навигации, так и самой GPS. Именно поэтому я и обратился прежде всего к его работам. Остальные авторы в той или иной мере повторяют его, более полные и обстоятельные результаты.
Для рассмотрения теории основных релятивистских эффектов для орбитальных спутников GPS обратимся к работе [5] за 2003 год Нила Эшби (Ashby N.). Все подчеркивания и выделения в цитатах автора внесены нами. В этой работе нас будет прежде всего интересовать вопрос о том, как, каким образом, где и когда автор будет использовать в теории спутниковой навигации для источников сигналов GPS специальную теорию относительности.
Но, прежде чем начать, еще раз напомним, что доплеровские сдвиги первого и второго порядков видимой (наблюдаемой) частоты часов из-за их относительного движения, происходящие вследствие эффекта Доплера 1-го и 2-го порядков, описываемого классической физикой, теорией явления запаздывания света и СТО, не могут приводить к утверждениям об изменении собственного времени (замедлению) на спутниках в их системах отсчета. Они приводят только к замедлению видимого (наблюдаемого) координатного времени, визуализируемого сторонним наблюдателем (приемником). Почему это напоминание актуально, станет ясно при рассмотрении теории релятивистских эффектов для спутников.
Нил Эшби (Ashby N.), автор работы [5] начинает с рассмотрения гравитационных полей вблизи Земли, возникающих из-за самой массы Земли. При этом он предполагает, что распределение массы Земли статично, и что существует локально инерциальная, не вращающаяся, свободно падающая система координат с началом в центре масс Земли, и записывает следующее решение (12) уравнений поля Эйнштейна в изотропных координатах:
где (𝑟 , 𝜃, 𝜑) - сферические полярные координаты и где 𝑉 - ньютоновский гравитационный потенциал Земли, приблизительно вычисляемый по формуле:
Здесь и далее ниже нумерация формул, даваемая в круглых скобках, соответствует тако-вой в работах авторов.
Как видим, в исходном для всей теории спутниковой навигации уравнении (12) специальной относительностью и «не пахнет». Здесь только гравитация и только общая относительность.
Далее автор преобразовывает уравнение (12) во вращающуюся систему координат ECEF, выполняет там преобразования, использует известный метрический гравитационный член gʹ↓00 , вводит эффективный гравитационный потенциал Ф во вращающейся системе отсчета, в том числе на экваторе Земли (Ф↓0), центростремительный потенциальный член и получает, к в конечном итоге, уравнение (24)
Здесь член 2V/c^2 как раз и связан с центростремительным потенциальным членом. Здесь и далее везде ниже наша стрелка ↓ обозначает, что следующее за ней буквенное обозначение является нижним индексом, тогда как обозначение ^ говорит о том, что следующее за ним буква или цифра является верхним индексом. Дзен не позволяет использовать в тексте верхние и нижние индексы, поэтому приходиться выкручиваться так.
Автор отмечает при этом, что разница (𝑉 − Φ↓0) гравитационных потенциалов, которая появляется в первом члене уравнения (24), возникает из-за того, что в базовой геоцентрической локально-инерциальной (ECI) системе координат, в которой выражено уравнение (24), единица времени определяется путем перемещения часов в пространственно-зависимом гравитационном поле. И в этом месте автор делает пометку, что уравнение (24) содержит в себе хорошо известные эффекты замедления времени и сдвиг частоты, оба эти эффекта из-за гравитации.
Как видим, и на этом этапе вывода основных формул теории спутниковой навигации в наличии имеются только гравитационные и центростремительный потенциалы. И снова одна только общая относительность и никакой СТО!
В этом месте далее автор расширяет действие полученного им уравнения (24) непосредственно с геоида Земли на все пространство, охватывающее Землю и созвездие спутников GPS, так как, согласно общей теории относительности, координатная временная переменная 𝑡 уравнения (24) действительна в области координат, достаточно большой, чтобы совершить указанный охват.
Далее автор решает уравнение (24) относительно dt следующим образом. Он сначала выносит член (cdt)^2 из всех членов в правой части, получая уравнение (25)
Потом упрощает уравнение (25), записывая квадрат мгновенной линейной скорости v^2 вращательного движения спутника по орбите в гравитационном поле Земли в системе координат ECI как уравнение (26)
Далее автор оставляет только члены порядка c^(−2), поэтому потенциальный член, изменяющий член скорости, равный (2Vv^2)/c^2 он отбрасывает. Тогда после извлечения квадратного корня приращение собственного времени на движущихся часах будет приблизительно определяться уравнением (27)
Как именно автор совершил переход от уравнения (25) к уравнению (27) мы подробно показываем в нашем препринте (см. ссылку выше). В результате этого перехода появляется уравнение {11}
где dt есть приращение координатного времени, наблюдаемого на геоиде, а dτ есть собственное время на спутнике.
Последнее уравнение напоминает соответствующее уравнение СТО, за исключением гравитационной добавки под знаком корня, выражаемой членом с разницей (V – Ф↓0) гравитационных потенциалов.
И здесь очень существенно то, что член v^2/c^2 напоминает соответствующий член в релятивистском радикале СТО. Именно наличие этого члена и служит появлению неверных утверждений, что в формировании теории спутниковой навигации участвует также и СТО.
Однако разница между этим членом в уравнении {11} и между напоминающим его членом в релятивистском радикале СТО есть, и она очень даже существенна. В релятивистском радикале СТО как всем известно скорость v является скоростью прямолинейного инерционного движения, постоянная как по величине, так и по направлению. В релятивистском радикале теории спутниковой навигации скорость v есть мгновенная линейная скорость вращательного кругового или эллипсоидального (при наличии эксцентриситета) движения, всегда переменная по направлению, а также и переменная по величине (при наличии эксцентриситета). Наверное, нет нужды пояснять дополнительно, что описание неинерционного вращательного движения не является объектом изучения и описания в СТО.
Как видим, несмотря на одинаковость написания отношения в СТО и в теории спутниковой навигации, физически в этих теориях скорости v оказываются принципиально разными физическими скоростями, никак не сводимыми одна к другой. А потому и отношения скоростей в этих двух теориях физически оказываются совершенно разными отношениями.
Кроме того, в релятивистском радикале теории спутниковой навигации член v^2/c^2 оказывается связанным с центростремительным ускорением, а через него посредством принципа эквивалентности, опять-таки и с гравитационным потенциалом. По сути, член v^2/c^2 оказывается связанным с эффектом вращения спутника по орбите в гравитационном поле Земли. Именно поэтому в уравнении (27) автора член v^2/c^2 записан не как в релятивистском радикале СТО, а с дополнительной двойкой в знаменателе. Что и показал Нил Эшби далее.
Если теперь релятивистский радикал уравнения {11} разложить в ряд, отбросив все члены порядков выше, чем c^(−2), то мы как раз и получим уравнение (27) автора.
Таким образом, как уравнение {11}, так и вытекающее из него уравнение (27) оказываются связанными целиком и полностью с общей теорией относительности, а не с СТО.
И потому бытующее в Интернете утверждение о том, что величина ½(v^2/c^2) предопределяет релятивистское замедление времени в соответствии с СТО, лишено каких-либо физических оснований.
Из уравнения {11} следует, что гравитационный член [2(V – Ф↓0)]/c^2 работает на ускорение видимого координатного времени, наблюдаемого на геоиде. Любопытно, что практические наблюдения показали, что суммарное воздействие гравитации и вращательного движения сводится к тому, что для определенных спутниковых орбит в реальности преобладает ускорение наблюдаемого координатного времени, а не его замедление. Это означает, что для этих орбит модуль члена v^2/c^2 оказывается меньше модуля члена [2(V – Ф↓0)]/c^2. Для орбит, близких к поверхности Земли, происходит обратное, модуль члена v^2/c^2 оказывается больше модуля члена [2(V – Ф↓0)]/c^2 и потому для таких орбит преобладает замедление наблюдаемого координатного времени.
Из уравнения {11} простым преобразованием мы можем получить уравнение {10}
Теперь, если мы принимаем точку зрения академика Л.Б. Окуня с коллегами [6] о том, что координатное время dt есть лабораторное, мировое время, неизменное в системе отсчета лаборатории неподвижного (наземного) наблюдателя и рассмотреть уравнение {10}, то тогда становится понятной зависимость собственного физического времени dτ часов движущегося по орбите спутника от гравитационного влияния поля Земли и эффекта вращения спутника по орбите в гравитационном поле Земли.
Автор далее решает задачу о приращении координатного времени и записывает уравнение (28), интегрируя по траектории атомных часов,
Здесь следует обратить внимание на члены в квадратных скобках в уравнении (27) и в уравнении (28), в которых гравитационный и скоростной вращательного движения члены имеют противоположные знаки. Дело здесь в разном разложении в ряд обратных релятивистских квадратных корней. Для получения формулы {10}из формулы {11} используется разложение в ряд по формуле 1/кв.кор.(1 – v^2/c^2), тогда как для получения члена в квад-ратных скобках в уравнении (28) используется та же формула {11}, но теперь применяется разложение в ряд по формуле 1/ кв.кор.(1 + B), где за B принята алгебраическая сумма гравитационного и скоростного вращательного движения членов. Результатом такого другого разложения в ряд является формула {19}
которая и интегрируется в уравнении (28).
Так или иначе, но далее Нил Эшби использует формулу (28), в которой член в квадратных скобках получен именно другим разложением в ряд.
Далее автор отмечает, что основными релятивистскими факторами, влияющими на ход спутниковых часов и потому на изменение темпа течения собственного времени на спутнике, являются гравитационные сдвиги частоты (член (V - Ф↓0)/c^2) и доплеровские сдвиги второго порядка (член v^2/2c^2 ).
Оба эти члена имеют гравитационное происхождение, потому что второй член v^2/2c^2 порождается центростремительным ускорением при орбитальном вращении спутника, а в соответствии с принципом эквивалентности любое ускорение возможно заменить гравитационным полем. Поэтому оба члена и рассматриваются в области ОТО, а не СТО. СТО в этом вопросе оказывается не при чем, несмотря на видимое наличие в формуле половинки члена v^2/c^2. Ниже сам автор подтверждает этот наш вывод в отношении члена v^2/2c^2, приводя вывод уравнения для кеплеровских (с эксцентриситетом) орбит спутников, по которым, собственно говоря, спутники GPS и летают вокруг Земли. В процессе этого вывода автор, исходя из энергетических соотношений, получает уравнение (33)
в котором r есть расстояние от центра Земли до спутника, a – большая полуось орбиты спутника, М↓Е – масса Земли, и которое равносильно уравнению {21}
Из последнего уравнения четко видно, что скоростной вращательного движения член (в левой части уравнения {21}) определяется через гравитационные потенциалы G (в правой части того же уравнения). Поэтому все те исследователи и комментаторы, которые видят в скоростном вращательного движения члене специальную относительность, остаются не у дел и могут «отойти в сторонку и нервно покурить». 😊
С учетом этого автор далее переписывает уравнение (28) в виде уравнения (34), получая выражение для определения прошедшего координатного времени на спутниковых часах:
в котором суммарное прошедшее координатное время ∆t есть левая часть уравнения (28), а правая часть уравнения (28) просто преобразована в соответствии с уравнением {21}. Таким образом, оказывается, что скоростной член вращательного движения прямо связан с гравитацией Земли и с орбитой спутника (большая полуось орбиты a!). Вопрос для неубеждаемых: и где здесь специальная теория относительности?
Это, шах и мат, сторонникам замедления хода собственного времени на спутнике, вследствие, якобы, воздействия на движущийся по орбите спутник со стороны факторов, рассчитываемых при помощи СТО. Таким образом, автор своей работой [5] показал, что
Именно это время ∆t для спутников и фиксируется в центрах управления полетами спутников GPS, именно это время за каждые сутки полета спутников либо убегает вперед, ли-бо отстает (в зависимости от высоты орбиты спутника над центром тяжести Земли) в сравнении с часами на Земле, именно для исправления этого убегания или отставания ежесуточно для часов на спутники вносятся как первоначальные поправки еще на заводе, когда спутник еще не запущен, так и регулирующие ход времени на спутниках поправки с Земли, когда спутники уже находятся в полете, именно поэтому точность определения координат в спутниковой навигации остается достаточно точной и как говорится, «не плывет».
Далее автор кратко рассматривает теорию релятивистских эффектов для наземных приемников GPS. Ее здесь, ради краткости изложения, мы рассматривать не будем. Отсылаем интересующихся к нашему препринту (см. ссылку в начале этой статьи) и работам [4] и [5] автора теории спутниковой навигации.
Для полноты картины отметим только, что далее автор называет пять релятивистских эффектов, … включенных в документ с техническими характеристиками системы ICD-GPS-200 [2]. Это именно те основные эффекты, которые следует учитывать при организации спутниковой навигации. К ним относятся:
a). влияние массы Земли на гравитационные сдвиги частоты атомных эталонов времени, закреплённых на поверхности Земли, относительно часов, находящихся на бесконечности;
b). влияние сплюснутой формы Земли на гравитационное смещение частоты атомных часов, установленных на поверхности Земли;
c). доплеровские сдвиги второго порядка часов, закреплённых на поверхности Земли, из-за вращения Земли;
d). смещение частоты часов на спутниках GPS из-за массы Земли;
e). доплеровские сдвиги часов в спутниках GPS первого и второго порядка из-за их движения в инерциальной системе отсчёта, связанной с Землёй (ECI).
Как мы видим, пункты a), b) и d) прямо связаны с гравитационным полем Земли. В пункте c) называются доплеровские сдвиги частоты часов, закреплённых на поверхности Земли, которые, как показал автор, из-за вращения принятой системы отсчета в гравитационном поле Земли, также оказываются связанными с гравитацией. В пункте e) называются доплеровские сдвиги часов в спутниках GPS второго и первого порядков. Но в этом случае доплеровские сдвиги часов второго порядка, как показал тот же автор, также оказываются связанными с гравитацией Земли из-за движения спутников по орбите в гравитационном поле Земли. Для спутников остаются только доплеровские сдвиги часов первого порядка, которые не связаны с гравитацией, но эти доплеровские сдвиги часов первого порядка характеризуют только сдвиг принимаемой частоты (см. уравнения для эффекта Доплера первого порядка) и никак не свидетельствуют о сдвиге собственных частот источника. Поэтому оказывается, что ни один из перечисленных эффектов не описывает именно кинематическое замедление темпа течения времени собственных часов спутника, которое можно было бы и следовало бы связать с СТО.
Общий заключительный вывод следующий:
При движении спутника по любой орбите действуют следующие основные эффекты: гравитационный сдвиг частоты и эффект вращения спутника по орбите, часто называемый доплеровским эффектом второго порядка, который применительно к движению спутников на орбите по сути является гравитационным доплеровским сдвигом. Последний упомянутый эффект не имеет никакого отношения к кинематическим эффектам СТО, обязанным своим происхождениям преобразованиям Лоренца. Оба эти упомянутых эффекта рассматриваются общей теорией относительности и ни один из них не связан с СТО. Из всего многообразия теории СТО в теории спутниковой навигации для источников сигналов GPS используется разве что принцип постоянства скоро-сти света в вакууме, но это делается без выхода на конкретные формулы СТО.
Поэтому декларируемый некоторыми исследователями кинематический лоренцев эффект СТО, якобы замедления собственного времени спутников, для источников сигналов GPS (спутников GPS и их аппаратуры) отсутствует по определению.
Поэтому полученные мною в ноябре-декабре прошлого года (см. выше начало статьи) новые значимые результаты в части описания изменения темпов течения времени для релятивистски движущихся материальных объектов, эти мои новые результаты теорией спутниковой навигации никак не опровергаются. Что мы с удовлетворением и констатируем.
Поэтому, к возможному огорчению сторонников разного рода «чудес» и «парадоксов» в СТО, как теория, так практическая работа спутниковой навигации, не могут являться как теоретическим, так и экспериментальным подтверждением «парадокса» близнецов.
На этом и закончим.
Что касается упомянутых выше моих новых результатов в части описания изменения темпов течения времени для релятивистски движущихся материальных объектов, то могу сообщить, что эти новые результаты также будут опубликованы мною здесь, на Дзене. Следите за обновлениями.
Литература.
[1] Platonov А., «On changes in the rate of flow of time in the special theory of relativity in connection with the phenomenon of light retardation», January 2025, DOI: 10.13140/RG.2.2.35956.46729
[2] Platonov A.A. «Pseudo-scientific myths of STR. Slowing down of proper time of moving objects», January 2025, DOI: 10.13140/RG.2.2.21695.83363.
[3] Winterberg F., «Relativistische Zeitdilatation eines künstlichen Satelliten», Astronautica Acta, Vol. 2, no. 1, pp. 25-29 1956).
[4] Ashby N., Nelson R.A., « The global positioning system, relativity, and extraterrestrial navigation», International Astronomical Union 2010, Relativity in Fundamental Astronomy Proceedings IAU Symposi-um, No. 261, 2009, S.A. Klioner, P.K. Seidelman & M.H. Soffel, eds.
[5] Ashby N., «Relativity in the Global Positioning System», Living Reviews in Relativity, Volume 6, article number 1, 2003; см. также: Physics Today, May 2002, 41.
[6] Окунь Л.Б., Селиванов К.Г., Телегди В.Л., «Гравитация, фотоны, часы», УФН, том 169, №10, октябрь 1999 г.
23 – 24.01.2025 г. Алексей А. Платонов.
Copyright © Платонов А.А. 2025 Все права защищены