Разминка для мозга: Считаем в уме - 4. Найди следующее число в ряду

1. Ряд: 1, 3, 6, 10, 15, ...
2. Ряд: 2, 1, 3, 4, 7, 11, ...
3. Ряд: 1, 5, 3, 7, 5, 9, ...
4. Ряд: 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...
5. Ряд: 1, 3, 7, 15, 31, ...
6. Ряд: 0, 1, 2, 5, 12, 29, ...
7. Ряд: 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, ...
8. Ряд: 142857, 428571, 285714, 857142, ...
9. Ряд: 1А, 3В, 5Д, 7Ж, ...
10. Ряд: 1А, 4Г, 9И, 16Р, ...
11. Ряд: 4, 9, 25, 49, 121, ...

Подсказки

1. Числа треугольников:
Ряд: 1, 3, 6, 10, 15, ...
Подсказка: Представьте себе расстановку точек в виде равностороннего треугольника.
Ответ: 21

Подробное объяснение: Числа треугольников представляют собой количество точек, необходимых для создания равностороннего треугольника. Каждое следующее число получается добавлением еще одного ряда точек к предыдущему треугольнику. Формула для n-го треугольного числа: T(n) = n * (n + 1) / 2. Разница между числами увеличивается на 1: (+2, +3, +4, +5...).

Что такое числа треугольников?
Числа треугольников - это последовательность чисел, которые представляют количество точек, необходимых для создания равностороннего треугольника.

Как образуются числа треугольников?
Представьте, что вы начинаете с одной точки (первое треугольное число = 1). Затем вы добавляете еще один ряд точек, чтобы получился треугольник с двумя точками в основании (второе треугольное число = 1 + 2 = 3). Затем добавляете еще один ряд с тремя точками в основании (третье треугольное число = 1 + 2 + 3 = 6), и так далее.

Визуально:

• 1-е треугольное число: 1 точка
  .
• 2-е треугольное число: 3 точки
  .
  . .
• 3-е треугольное число: 6 точек
  .
  . .
  . . .
• 4-е треугольное число: 10 точек
  .
  . .
  . . .
  . . . .

Формула:

n-ое треугольное число можно вычислить по формуле:

T(n) = n * (n + 1) / 2

где n - номер треугольного числа в последовательности (1, 2, 3, и т.д.).

Пример:

Чтобы найти 5-е треугольное число (следующее в последовательности 1, 3, 6, 10, 15), мы используем формулу:

T(5) = 5 * (5 + 1) / 2 = 5 * 6 / 2 = 15

Чтобы найти 6-е треугольное число (следующее за 15):

T(6) = 6 * (6 + 1) / 2 = 6 * 7 / 2 = 21

Подсказки:

• Попробуйте посчитать, на сколько каждое следующее число в ряду больше предыдущего. (Разница между числами увеличивается на 1 каждый раз: +2, +3, +4, +5...)
• Представьте, что вы складываете последовательные числа (1 + 2, 1 + 2 + 3, 1 + 2 + 3 + 4...).
• Нарисуйте треугольник с 4,5,6,7 рядами точек и пересчитайте, сколько всего точек.

2. Последовательность Люка:

• Ряд: 2, 1, 3, 4, 7, 11, ...
• Подсказка: Похожа на Фибоначчи, но с другими начальными значениями.
• Ответ: 18
• Подробное объяснение: Последовательность Люка похожа на последовательность Фибоначчи, где каждое число является суммой двух предыдущих, но с другими начальными значениями (2 и 1 вместо 0 и 1). Таким образом, следующее число в последовательности получается сложением 7 и 11.

3. Чередование двух арифметических прогрессий:

• Ряд: 1, 5, 3, 7, 5, 9, ...
• Подсказка: Два разных ряда идут по очереди.
• Ответ: 7
• Подробное объяснение: В этом ряду переплетаются две арифметические прогрессии: одна начинается с 1 и увеличивается на 2 (1, 3, 5,...), а другая начинается с 5 и увеличивается на 2 (5, 7, 9,...). Игроку нужно определить обе последовательности, чтобы найти следующее число в первой последовательности.

4. Гармоническая прогрессия (с простыми числами):

• Ряд: 1, 1/2, 1/3, 1/5, 1/7, ...
• Подсказка: Подумайте о дробях и простых числах.
• Ответ: 1/11
• Подробное объяснение: Это обратные значения простых чисел. Каждое число в последовательности является дробью, где числитель равен 1, а знаменатель является простым числом (число, которое делится только на 1 и на себя). Простые числа увеличиваются: 2, 3, 5, 7, 11...

5. Смешанный: умножение и сложение:

• Ряд: 1, 3, 7, 15, 31, ...
• Подсказка: Умножение на 2 плюс 1.
• Ответ: 63
• Подробное объяснение: Каждое число в этой последовательности получается путем умножения предыдущего числа на 2 и добавления 1. (1 * 2 + 1 = 3, 3 * 2 + 1 = 7, и т.д.).

6. Последовательность Пелла:

• Ряд: 0, 1, 2, 5, 12, 29, ...
• Подсказка: Каждое число равно удвоенному предыдущему числу плюс число перед предыдущим.
• Ответ: 70
• Подробное объяснение: В последовательности Пелла каждое число получается путем умножения предыдущего числа на 2 и добавления числа, предшествующего предыдущему. (2*29 + 12 = 70).

7. "Пила":

• Ряд: 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, ...
• Подсказка: Растет, а затем падает.
• Ответ: 1
• Подробное объяснение: Эта последовательность увеличивается до определенного числа, а затем начинает уменьшаться в обратном порядке.

8. Циклический сдвиг цифр:

• Ряд: 142857, 428571, 285714, 857142, ...
• Подсказка: Обратите внимание на цифры. Они одни и те же, но в другом порядке.
• Ответ: 571428
• Подробное объяснение: Все числа в последовательности состоят из одних и тех же цифр, но в другом порядке. Цифры циклически сдвигаются влево. 142857 * 2 = 285714, 142857 * 3 = 428571

9. Связь с буквами алфавита (простой буквенно-цифровой):

• Ряд: 1А, 3В, 5Д, 7Ж, ...
• Подсказка: Подумайте о порядке букв в русском алфавите.
• Ответ: 9И
• Подробное объяснение: Числа увеличиваются на 2, а буквы сдвигаются на 2 позиции в русском алфавите (с учетом Ё и Й). 1-А, 3-В, 5-Д, 7-Ж, 9-И.

10. Связь с буквами алфавита (сложный буквенно-цифровой):

• Ряд: 1А, 4Г, 9И, 16Р, ...
• Подсказка: Связь чисел с порядком букв не прямая. Подумайте о квадратах чисел и буквах алфавита.
• Ответ: 25Х
• Подробное объяснение: Числа являются квадратами натуральных чисел (1, 4, 9, 16, 25), и буква в последовательности соответствует букве русского алфавита, номер которой равен квадрату соответствующего числа (с учетом Ё и Й). 1^2 = 1 (А), 2^2 = 4 (Г), 3^2 = 9 (И), 4^2 = 16 (Р), 5^2 = 25 (Х).

11. Квадраты простых чисел:

• Ряд: 4, 9, 25, 49, 121, ...
• Подсказка: Простое число возведено в квадрат.
• Ответ: 169
• Подробное объяснение: Каждое число в последовательности является квадратом простого числа. (2^2 = 4, 3^2 = 9, 5^2 = 25, 7^2 = 49, 11^2 = 121, 13^2 = 169).

Удачи!

Предыдущие задачки:

Продолжение следует... Подпишись, чтобы не пропустить