Числа 0,9 и 0,(9) абсолютно разные.
Первое это конечная десятичная дробь, ноль целых девять десятых. В обыкновенных дробях 0,9 = 9/10.
Второе число это бесконечная периодическая дробь, то есть 0,(9) = 0,999999999999...... и дальше девятки, их бесконечное количество.
Как только в математическом тексте возникает слово бесконечность, так сразу появляются вещи, не очень укладывающиеся в голове.
Например прямые линии, которые не имеют определения, но мы знаем, что прямые - бесконечны.
Или плоскости.. Определения нет, только понятие. Плоскости в геометрии тоже бесконечны.
А вот ряд чисел, например, от 1 до 100. В этом ряде 50 четных, 50 нечетных, это ясно.
Если мы говорим о бесконечном ряде чисел, то картина меняется.
Пусть у нас есть бесконечное количество натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, ........ n.
Сколько в этом ряде будет четных ?
Думаете, в два раза меньше, чем всех чисел ? Нет. Их будет столько же, сколько и натуральных чисел, потому что любому числу этого ряда можно противопоставить четное, то есть 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 ..... 2n.
Такое же будет количество чисел, если взять бесконечный ряд 10, 20, 30, 40, 50,.......10n.
То есть эти бесконечности будут равны между собой.
Это давно доказал великий немецкий математик , укротитель бесконечности, Георг Кантор.
Вернемся к герою дня 0,(9).
Бесконечную периодическую десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной дроби.
Разберем на примере, как это сделать.
Представим дробь 0,(27) в виде обыкновенной дроби. 0,(27) = 0,272727...
Пусть х=0,272727...., тогда 100х=27,272727.... 100х - х = 27, 2727... - 0, 272727... , 99х = 27 , х = 27/99 , х=3/11, то есть 0,(27)=3/11.
Еще один пример. Представим дробь 0,(998) в виде обыкновенной дроби.
Действуем по схеме. х = 0,998998.... , тогда 1000х=998,998998... Составим разность 1000х-х= 998,998998-0,998998..., 999х=998, х=998/999.
Смотрите, 0,(998)=998/999, то есть очень близко к единице.
Но 0,(9)=0,999999... это ведь не единица, меньше 1, верно? Близко к единице, очень близко, но не 1 же.
Осталось проверить. Итак. Пусть х=0,9999..., тогда 10х=9,9999..., далее 10х-х= 9,99999....- 0,999999... , 9х=9, х=9/9 , х=1.
Вот так, получается 0,(9)=1. Это утверждает математика, а она не ошибается.
Есть и другой способ перевода десятичной периодической дроби в обыкновенную. С помощью формулы суммы членов бесконечной геометрической прогрессии.
Уверяю вас, я проверила и этим способом. Тоже 0,(9)=1. Удивительно, но верно.
По традиции, небольшая разминка.
1. Какой знак нужно поставить между двумя четверками, чтобы получилось число больше 4, но меньше 5 ?
2. Один из двух сомножителей равен 38. На сколько увеличится произведение, если второй сомножитель увеличить на 5 ?
3. Написали ряд чисел -6, -5, -4, ....... 6, 7, 8. Их перемножили. Чему равно их произведение ?
4. Какой цифрой заканчивает разность двух произведений 1*2*3*4 ....*18*19 - 1*3* ... *17*19 ?.
Спасибо, что вы дочитали. Желаю вам успехов, здоровья и радости.
Ответы на задачки будут в комментариях. Точно будут.