Забавная тема "деление на ноль": так можно делить или нельзя? Забавна это ещё тем, что к этой теме придётся мне лично прикоснуться в аспирантуре по направлению "электрофизика" в своей будущей кандидатской работе. Я полазил ради интереса по интернету (ютубе, дзен и т.д.) - практически везде одно и тоже - деление на ноль "запрещено". Нейросети в этом плане более широко мыслят - нужно, мол, вести математическое правило, расширить множество чисел, чтобы такая операция проявила себя. Трудно не согласиться.
Так как магистратура подходит к концу, то нужно уже заранее определиться с темой, по которой будет писаться диссертация в аспирантуре. Решил выбрать "математическое моделирование неевклидовых пространств с дискретной параметризацией". Название звучит сумбурно, как и название вообще всех диссертаций, но идея довольно простая - нам нужно разбить любой объём пространства на части, каждая часть при этом обладает своим параметром, отвечающим за какое-то свойство объекта: скорость перемещения, плотность и т.д. Для евклидового пространства все параметры равны, а вот если вы хотите получить, что-то не естественное, то изменяете их так, чтобы они отличались частично или полностью друг от друга, и ваш объект "искажается", перемещаясь по такому вот неестественному миру.
Если ваши части с разными параметрами не пересекаются, то в принципе ничего сложного - такую модель можно спрограммировать ввиде игрового движка в два счёта. Другое дело, если это не так... Вот здесь дела идут с крутым виражём по отвесной скале. Не буду углубляться в сложности проблематики, но скажу, что это затрагивает три направления. При чём, крайне "зыбких" - за которые консервативные математики могут сжечь на костре: гипердействительные числа (не стандартный анализ), теория расходящихся рядов и числа, превосходящие бесконечность - кардиналы. Хотя, может за кардиналы и не сожгут.
В этой работе, по крайней мере, в первых её изысканиях (занимался ею параллельно с магистерской), столкнулся с операциями деления на ноль. Пришлось этой темой заняться серьёзно. Первым делом согласимся с Трушиным, что деление на ноль ни как не определено в математике. И вообще Трушин как-то более серьёзен в рассуждениях, чем все остальные, кого читал и смотрел - они, особенно в Дзене, пишут как под копирку, что на ноль делить нельзя и приводят в пример уравнение 0·х=N (где N - любое действительное число) как не решаемое. Это не совсем так. Правильно было бы сказать, что данное уравнение не решаемо только в области действительных чисел. Но ничего нет трудного его расширить, как это сделано, к примеру, в гипердействительных числах или ещё как-нибудь расширениях.
Лирическое отступление.
Мы даже точно не можем сказать является ли число "ноль" - числом, а не неким обобщением всех элементов с такими свойствами. Это либо принимается, либо не принимается на веру. И на это есть веское основание. Так как ноль - это специфический (нейтральный) элемент - это свойство кольца, у которого относительно операции сложения есть такая способность а+0=а и 0+а=а (если оно коммутативно). Как и единица в операции умножения.
Учимся делить на ноль.
Давайте попробуем построить математику с делением на ноль, но так, чтобы это было не связано с гипердействительными числами, а находилось в области стандартного анализа (а за чем повторяться? подойдём к этому творчески, не под копирку).
Рассмотри кольцо всех пределов функций [Fₒ(x), Fₐ(x),...], где аргумент стремится к пяти х→5 (без разницы к какому числу). Как вы думаете, есть ли хоть одна формула, приделом которой будет ноль, при х→5? Их бесконечное множество. Ого, у нас есть кольцо с нулём такое, что Fₐ(x)+Fₒ(x)=Fₐ(x) и Fₒ(x)+Fₐ(x)=Fₐ(x) Кто нибудь мне может сказать, в чём отличие нуля из действительных чисел от нуля Fₒ(x) из кольца приделов функции х→5? По правилам классической высшей алгебры свойства у них одинаковые - оба нейтральные элементы по сложению, а значит различий нет (хотя бы на первый взгляд).
Ей! Други, утверждающие, что деление на ноль и предел функции со знаменателем, стремящимся к нулю - это разные понятия: "не путай, я тебе говорю, число стремящееся к нулю и ноль! На ноль делить нельзя, а вот в приделах - там идея другая (какая - не скажу), но это ни одно и тоже" (с).
А как вы докажите это? Нет, я сам не считаю, что они одинаковые, просто для данного кольца (а чуть позже и поля) они имеют одно и тоже свойство. Чтобы доказать, что это разные понятия, вам надо ещё больше расширить либо поле приделов, либо вообще придумать что-то другое, чтобы проявить свойства, отличающие ноль от функции, стремящейся к нулю. А то как не спросишь: различие есть, а в чём оно проявляется сказать не могут.
Далее больше: мы можем утверждать, что множество действительных чисел - это подмножество кольца функций пределов при х→5. Ведь функции могут быть и такие y(x)=1+х-х=1, y(x)=2, y(x)=3 и т.д.
Можем ли мы кольцо функций "х→5" обобщить до поля (то есть добавить операцию "деление")? Можем. Деля функцию на функцию мы получим функцию, и если даже функция в знаменателе стремиться к нулю - это не проблема - всё это давно изучено в теории пределов.
Ведём понятие ꝏ - любая функция, областью значения которой является действительное число с мощностью, стремящейся к алеф ﬡ. Тогда любое деление F(x)/Fₒ(x) равно либо ꝏ, либо некому числу N с меньшей мощностью.
Можно это записать по другому N/0 = ꝏ, где N - любое действительное число. Отсюда очень важное уравнение, которое любят на Дзене приводит как аргумент, что делить на ноль нельзя:
0·х=N
В нашем случае:
0·ꝏ=N
Значит, уравнение 0·х=N имеет единственное правильное решение, только тогда, когда х=ꝏ. То есть раскрытие неопределенности типа 0·ꝏ всегда будет с получением некоторого действительного числа. Причём заметим, что в поле функций "х→5" действует вся школьная математика, но при этом можно делить на ноль (для данной математической структуры между нулём и Fₒ(x) нет ни какой разницы, как было указано выше), так как результат от деления не выходит за пределы множества, а остаётся в нём же.
Решением уравнения, к примеру, 0·х=8, будут только те функции x=F(x)→ꝏ , которые при делении на ноль (Fₒ(x)→ 0) дают 8. Другими словами мы получаем отдельное подмножество Fₐ(x) виде ответа (!), то есть конкретные функции (хоть их количество и бесконечно), а не все возможные или на оборот невозможность получения какого-либо ответа. Что важно, так как есть конкретика (признак).
В чём отличие от гипердействительных чисел?
Ну в только в том, что наш "алеф" ﬡ (ꝏ) здесь имеет статическое значение - его ни какое число не может превысить, в отличие от нестандартного анализа, где бесконечно большие числа имеют частичное упорядочивание (то есть их можно сравнить с друг другом по мощности). А вот понятие нуля тут одинаковое: в гипердействительных числах ноль - это бесконечно малое число, а в нашем поле Fₒ(x)→ 0. Как по мне - это одно и тоже. Если рассуждать со стороны стандартного анализа: ноль - это такая функция Fₒ(x), которая при х→5 обладает свойством нейтрального элемента Fₐ(x)+Fₒ(x)=Fₐ(x).
Эта же тема в моей будущей кандидатской.
Она не является прям ключевой, но очень важной. И, конечно, ни с какими простецкими расширениями действительных чисел до полей предела функций "х→N" там дело близко не стоит. Их я выдумал как пример для этой статьи. И в ней ноль и функция, стремящаяся к нулю имеют различие.
Именно из-за того, что ноль и бесконечное малое число в гипердействительных числа одно и тоже - теорию гипредействительных чисел пришлось исключить. Ведение частичного упорядочивания для сверхбольших чисел - не даёт особо ни какого манёвра
Вообще, гипердействительные числа - это всё те же действительные числа (яйца), но только с боку: приделы поменяли на бесконечные малые и бесконечно большие числа.
Хотя я не скажу что прям глубоко изучил гипердействительные числа, что быть уверенным, что там не будет интересных идей, которых стоит почерпнуть.
Гори костёр ярче.
На много интереснее расходящиеся ряды. Между ними и темой это статьи есть связь. Она прослеживается аж с формулы Дзета-функции Римана, что позволяет расширить область действительных чисел в более интересное и практичное русло, которое даёт оперировать настоящими метрическими числами (метр, сантиметр и т.д.). А за одно и для чисел, превышающих бесконечность будет практический толк - можно создать математическую модель, где эффект от наложения различных дискретных пространств, может быть высчитан.
Блин, я вот сейчас написал выше абзац. Перечитал. Вышло так заумно, что аж гордо псевдонаукой попахивает. Лучше дополню так: как сложить два отрезка с бесконечным количеством точек, из которых они состоят, если каждое свойство каждой точки у каждого отрезка отличается? Каким свойством будет обладать такой отрезок, если сложить разные бесконечные точки каждого отельного отрезка друг с другом при их слиянии?
Но теория расходящихся рядов - это ещё ого-го какое не паханное поле... Хватит ли 5 лет, что бы там навести такой же марафет, как сделал Коши для матана?
О чём был пост.
Вообще пост был о том, что "я дочь генерала и тут не всё так однозначно". О том, что на большое количество видео, статей различных тем - большая доля однобокости и мало креативности, профессионализма. Даже тема "деление на ноль" - вызывает скованность в рассуждениях, а иногда прямы ошибки: ведь достаточно сказать, что в области действительных чисел делить на ноль нельзя, так как это деление выводит числа из этой области, а не заявлять, что делить на ноль нельзя вообще.
Математика - это такая наука, где всё можно, если ты логически это выстроишь. Заявлять заранее, что что-то нельзя - должно быть сказано с оговорками - как не раз это доказывала история данной науки (к примеру, на комплексных числах, неевклидовых пространствах и т.д.).
Давайте в себе развивать и творчество и профессионализм - чтобы не в падать в крайности. Идти средним путём, аккуратно между строгим тупиковым консерватизмом и вседозволенным псевдонаучным бредом.