Тема старая, исхоженная вдоль и поперек всеми, кому ни лень. Но, попробуем.
Для начала обратимся «К электродинамике движущихся тел» Альберта Эйнштейна, приведем его методику получения соответствующих преобразований координат.
§ 3. Теория преобразования координат и времени от покоящейся системы к системе, равномерно и прямолинейно движущейся относительно первой
Пусть в «покоящемся» пространстве даны две координатные системы, каждая с тремя взаимно-перпендикулярными осями, выходящими из одной точки. Пусть оси X обеих систем совпадают, а оси Y и Z – соответственно параллельны. Пусть каждая система снабжена масштабом и некоторым числом часов, и пусть оба масштаба и все часы в обеих системах в точности одинаковы.
Пусть теперь началу координат одной из этих систем (k) сообщается (постоянная) скорость v в направлении возрастающих значений х другой, покоящейся системы (К); эта скорость передается также координатным осям, а также соответствующим масштабам и часам. Тогда каждому моменту времени t покоящейся системы (К) соответствует определенное положение осей движущейся системы, и мы из соображений симметрии вправе допустить, что движение системы к может быть таким, что оси движущейся системы в момент времени t (через t всегда будет обозначаться время покоящейся системы) будут параллельны осям покоящейся системы.
Представим себе теперь, что пространство размечено как в покоящейся системе К посредством покоящегося в ней масштаба, так и в движущейся системе к посредством движущегося с ней масштаба, и что, таким образом, получены координаты х, у, z и соответственно ξ, η, ζ.
Пусть посредством покоящихся часов, находящихся в покоящейся системе, и с помощью световых сигналов указанным в § 1 способом определяется время t покоящейся системы для всех тех точек последней, в которых находятся часы. Пусть далее таким же образом определяется время τ движущейся системы для всех точек этой системы, в которых находятся покоящиеся относительно последней часы, указанным в § 1 способом световых сигналов между точками, в которых эти часы находятся.
Каждому набору значений х, у, z, t, которые полностью определяют место и время событий в покоящейся системе, соответствует набор значений ξ, η, ζ, τ, устанавливающий это событие в системе k, и теперь необходимо найти систему уравнений, связывающих эти величины.
Прежде всего ясно, что эти уравнения должны быть линейными в силу свойства однородности, которое мы приписываем пространству и времени.
Если мы положим х' = х - vt, то ясно, что точке, покоящейся в системе k, будет принадлежать определенный, независимый от времени набор значений х', у, z. Сначала мы определим τ как функцию от х', у, z, t. Для этой цели мы должны выразить с помощью некоторых соотношений, что τ по своему смыслу есть не что иное, как совокупность показаний покоящихся в системе к часов, которые в соответствии с изложенным в § 1 правилом идут синхронно.
Пусть из начала координат системы к в момент времени τ0 посылается луч света вдоль оси X в точку х' и отражается оттуда в момент времени τ1 назад, в начало координат, куда он приходит в момент времени τ2; тогда должно существовать соотношение
или, выписывая аргументы функции τ и применяя принцип постоянства скорости света в покоящейся системе, имеем
Если х' взять бесконечно малым, то отсюда следует:
или
Необходимо заметить, что мы могли бы вместо начала координат выбрать всякую другую точку в качестве отправной точки луча света, и поэтому только что полученное уравнение справедливо для всех значений х', у, z.
Если принять во внимание, что свет вдоль осей Y и Z при наблюдении из покоящейся системы всегда распространяется со скоростью
, то аналогичное рассуждение, примененное к этим осям, дает
Так как τ — линейная функция, то из этих уравнений следует
где а - неизвестная пока функция φ(v) и ради краткости принято, что
в начале координат системы к при τ = 0 также и t = 0.
Пользуясь этим результатом, легко найти величины ξ, η, ζ. С этой целью (как этого требует принцип постоянства скорости света в сочетании с принципом относительности) нужно с помощью уравнений выразить то обстоятельство, что свет при измерении в движущейся системе также распространяется со скоростью V. Для луча света, вышедшего в момент времени τ = 0 в направлении возрастающих ξ, имеем ξ=Vτ
или
Но относительно начала координат системы к луч света при измерении, произведенном в покоящейся системе, движется со скоростью V - v, вследствие чего
Подставив это значение t в уравнение для ξ, получим
Рассматривая лучи, движущиеся вдоль двух других осей, находим
причем
x’=0
следовательно,
и
Подставляя вместо х' его значение, получаем
где
а φ - неизвестная пока функция от v.
Если не делать никаких предположений о начальном положении движущейся системы и о нулевой точке переменной τ, то к правым частям этих уравнений необходимо приписать по одной аддитивной
постоянной.
Теперь мы должны показать, что каждый луч света - при измерении в движущейся системе - распространяется со скоростью V, если это утверждение, согласно нашему допущению, справедливо в покоящейся системе; мы еще не доказали, что принцип постоянства скорости
света совместим с принципом относительности.
Пусть в момент времени t = τ = 0 из общего в этот момент для обеих систем начала координат посылается сферическая волна, которая распространяется в системе К со скоростью V. Если (х, у, z) есть точка, в которую приходит эта волна, то мы имеем
Преобразуем это уравнение с помощью записанных выше формул
преобразования; тогда получим
Итак, рассматриваемая волна, наблюдаемая в движущейся системе, также является шаровой волной, распространяющейся со скоростью V. Тем самым доказано, что наши два основных принципа совместимы.
Выведенные формулы преобразования содержат неизвестную функцию φ от v, которую мы теперь определим.
Для этой цели вводим еще одну, третью координатную систему К', которая относительно системы к совершает поступательное движение параллельно оси Ξ таким образом, что ее начало координат движется со скоростью -v по оси Ξ. Пусть в момент времени t = 0 все три начала координат совпадают, и пусть при t = x = y = z = 0 время t' в системе К' равно 0. Пусть x', y’, z' суть координаты, измеренные в системе К'.
После двукратного применения наших формул преобразования получаем
Так как соотношения между х', у', z' и х, у, z не содержат времени t, то системы К и К' находятся в покое относительно друг друга, и ясно, что преобразование из К в К' должно быть тождественным преобразованием. Следовательно,
Выясним теперь физический смысл функции φ(v). Для этого рассмотрим ту часть оси Н системы к, которая лежит между точками
ξ = 0, η= 0, ζ = 0 и ξ = 0, η= l, ζ= 0. Эта часть оси Н представляет собой стержень, движущийся перпендикулярно своей оси со скоростью v относительно системы К. Концы этого стержня в системе К имеют следующие координаты:
x1=vt, y1=l/φ(v), z1=0
и
x2 = vt, y2 =0 , z2 = 0.
Таким образом, длина стержня, измеренная в системе К, равна l/φ(v); тем самым выяснен и физический смысл функции φ(v). В самом деле, из соображений симметрии теперь ясно, что измеренная в покоящейся системе длина некоторого стержня, движущегося перпендикулярно своей оси, может зависеть только от величины скорости, но не от ее направления и знака. Следовательно, длина движущегося стержня, измеренная в покоящейся системе, не изменяется, если v заменить через -v. Отсюда следует:
l/φ(v)=l/φ(-v)
или φ(v)=φ(-v)
Из этого и найденного ранее соотношений следует, что φ(v)=1,
так что найденные формулы преобразования переходят в следующие:
η=y, ζ=z
где
Все замечательно.
В свое время лично меня этот вывод поразил своей простотой и подкупающей изысканной очевидностью. Если перейти вывод А. Эйнштейна на плоскость Минковского, то векторная графика довольно проста:
То есть, геометрически переход от системы отсчета неподвижного тела отсчета к системе отсчета движущегося тела есть достаточно своеобразный псевдоевклидовый поворот координатных осей движущегося тела отсчета относительно координатных осей неподвижного тела отсчета на некоторый угол, являющийся функцией скорости.
Но дело не только в угле поворота как таковом. Важным его следствием является изменение единичных реперов в системе отсчета движущегося тела относительно единичных реперов системы отсчета неподвижного тела отсчета. К чести Эйнштейна он это увидел и просчитал. Я же ограничусь лишь геометрическим представлением этого расчета на плоскости Минковского:
Так что все замечательно и вопросов нет.
Все же я позволил себе бестактность усомниться в утверждении Альберта Эйнштейна:
- из соображений симметрии теперь ясно, что измеренная в покоящейся системе длина некоторого стержня, движущегося перпендикулярно своей оси, может зависеть только от величины скорости, но не от ее направления и знака.
Я решил проверить, так ли это.
И получил:
§ 3. Теория преобразования координат и времени от покоящейся системы к системе, равномерно и прямолинейно движущейся относительно первой
Пусть в «покоящемся» пространстве даны две координатные системы, каждая с тремя взаимно-перпендикулярными осями, выходящими из одной точки. Пусть оси X обеих систем совпадают, а оси Y и Z – соответственно параллельны. Пусть каждая система снабжена масштабом и некоторым числом часов, и пусть оба масштаба и все часы в обеих системах в точности одинаковы.
Пусть теперь началу координат одной из этих систем (k) сообщается (постоянная) скорость v в направлении возрастающих значений х другой, покоящейся системы (К); эта скорость передается также координатным осям, а также соответствующим масштабам и часам. Тогда каждому моменту времени t покоящейся системы (К) соответствует определенное положение осей движущейся системы, и мы из соображений симметрии вправе допустить, что движение системы к может быть таким, что оси движущейся системы в момент времени t (через t всегда будет обозначаться время покоящейся системы) будут параллельны осям покоящейся системы.
Представим себе теперь, что пространство размечено как в покоящейся системе К посредством покоящегося в ней масштаба, так и в движущейся системе к посредством движущегося с ней масштаба, и что, таким образом, получены координаты х, у, z и соответственно ξ, η, ζ.
Пусть посредством покоящихся часов, находящихся в покоящейся системе, и с помощью световых сигналов указанным в § 1 способом определяется время t покоящейся системы для всех тех точек последней, в которых находятся часы. Пусть далее таким же образом определяется время τ движущейся системы для всех точек этой системы, в которых находятся покоящиеся относительно последней часы, указанным в § 1 способом световых сигналов между точками, в которых эти часы находятся.
Каждому набору значений х, у, z, t, которые полностью определяют место и время событий в покоящейся системе, соответствует набор значений ξ, η, ζ, τ, устанавливающий это событие в системе k, и теперь необходимо найти систему уравнений, связывающих эти величины.
Прежде всего ясно, что эти уравнения должны быть линейными в силу свойства однородности, которое мы приписываем пространству и времени.
Если мы положим х' = х + vt, то ясно, что точке, покоящейся в системе k, будет принадлежать определенный, независимый от времени набор значений х', у, z. Сначала мы определим τ как функцию от х', у, z, t. Для этой цели мы должны выразить с помощью некоторых соотношений, что τ по своему смыслу есть не что иное, как совокупность показаний покоящихся в системе к часов, которые в соответствии с изложенным в § 1 правилом идут синхронно.
Пусть из начала координат системы k в момент времени τ0 посылается луч света вдоль оси X в точку х' и отражается оттуда в момент времени τ1 назад, в начало координат, куда он приходит в момент времени τ2; тогда должно существовать соотношение
или, выписывая аргументы функции τ и применяя принцип постоянства скорости света в покоящейся системе, имеем
Если х' взять бесконечно малым, то отсюда следует:
или
Необходимо заметить, что мы могли бы вместо начала координат выбрать всякую другую точку в качестве отправной точки луча света, и поэтому только что полученное уравнение справедливо для всех
значений х', у, z.
Если принять во внимание, что свет вдоль осей Y и Z при наблюдении из покоящейся системы всегда распространяется со скоростью V, то аналогичное рассуждение, примененное к этим осям, дает
Так как τ - линейная функция, то из этих уравнений следует
где а — неизвестная пока функция φ(v) и ради краткости принято, что
в начале координат системы к при τ = 0 также и t = 0.
Пользуясь этим результатом, легко найти величины ξ, η, ζ. С этой целью (как этого требует принцип постоянства скорости света в сочетании с принципом относительности) нужно с помощью уравнений выразить то обстоятельство, что свет при измерении в движущейся системе также распространяется со скоростью V. Для луча света, вышедшего в момент времени τ = 0 в направлении возрастающих ξ, имеем ξ=Vτ
или
Но относительно начала координат системы к луч света при измерении, произведенном в покоящейся системе, движется со скоростью V + v, вследствие чего
Подставив это значение t в уравнение для ξ, получим
Рассматривая лучи, движущиеся вдоль двух других осей, находим
причем
x’=0
следовательно,
и
Подставляя вместо х' его значение, получаем
где
а φ - неизвестная пока функция от v.
Если не делать никаких предположений о начальном положении движущейся системы и о нулевой точке переменной τ, то к правым частям этих уравнений необходимо приписать по одной аддитивной постоянной.
Теперь мы должны показать, что каждый луч света - при измерении в движущейся системе - распространяется со скоростью V, если это утверждение, согласно нашему допущению, справедливо в покоящейся системе; мы еще не доказали, что принцип постоянства скорости
света совместим с принципом относительности.
Пусть в момент времени t = τ = 0 из общего в этот момент для обеих систем начала координат посылается сферическая волна, которая распространяется в системе К со скоростью V. Если (х, у, z) есть точка, в которую приходит эта волна, то мы имеем
Преобразуем это уравнение с помощью записанных выше формул
преобразования; тогда получим
Итак, рассматриваемая волна, наблюдаемая в движущейся системе, также является шаровой волной, распространяющейся со скоростью V. Тем самым доказано, что наши два основных принципа совместимы.
Выведенные формулы преобразования содержат неизвестную функцию φ от v, которую мы теперь определим.
Для этой цели вводим еще одну, третью координатную систему К', которая относительно системы к совершает поступательное движение параллельно оси Ξ таким образом, что ее начало координат движется со скоростью -v по оси Ξ. Пусть в момент времени t = 0 все три начала координат совпадают, и пусть при t = x = y = z = 0 время t' в системе К' равно 0. Пусть x', y’, z' суть координаты, измеренные в системе К'. После двукратного применения наших формул преобразования получаем
Так как соотношения между х', у', z' и х, у, z не содержат времени t, то системы К и К' находятся в покое относительно друг друга, и ясно, что преобразование из К в К' должно быть тождественным преобразованием. Следовательно,
Выясним теперь физический смысл функции φ(v). Для этого рассмотрим ту часть оси Н системы к, которая лежит между точками
ξ = 0, η= 0, ζ = 0 и ξ = 0, η= l, ζ= 0. Эта часть оси Н представляет собой стержень, движущийся перпендикулярно своей оси со скоростью v относительно системы К. Концы этого стержня в системе К имеют следующие координаты:
x1=vt, y1=l/φ(v), z1=0
и
x2 = vt, y2 =0 , z2 = 0.
Таким образом, длина стержня, измеренная в системе К, равна l/φ(v); тем самым выяснен и физический смысл функции φ(v). В самом деле, из соображений симметрии теперь ясно, что измеренная в покоящейся системе длина некоторого стержня, движущегося перпендикулярно своей оси, может зависеть только от величины скорости, но не от ее направления и знака. Следовательно, длина движущегося стержня, измеренная в покоящейся системе, не изменяется, если v заменить через -v. Отсюда следует:
l/φ(v)=l/φ(-v)
или φ(v)=φ(-v)
Из этого и найденного ранее соотношений следует, что φ(v)=1,
так что найденные формулы преобразования переходят в следующие:
η=y, ζ=z
где
Если перенести конкретно этот вывод в графику на плоскости Минковского, то векторная графика тоже довольно проста и, что самое примечательное, часто встречается:
Все как бы очень похоже, но расчеты доказывают, а графика наглядно показывает, что в данном случае псевдоевклидовый поворот осей движущейся системы координат приводит к обратному соотношению единичных реперов.
Вывод древен как мир:
- не следует слепо верить на слово любым лицам, независимо от их положения, возраста, национальности, вероисповедания и прочих атрибутов.
Даже если это величайший гений всех времен и народов.
Проверяйте.
П.С.
Из-за всего этого не надо бросать камни в Эйнштейна. У него нет ошибки. Всего лишь неполное решение. Бросьте камень в себя — другого решения вы тоже не увидели.
Впрочем, у вас есть повод и для гордости — великие от науки его также не видели. Вы с ними на одном уровне.
Я же приношу читателям свои извинения за это проявление непорядочности в отношении Альберта Эйнштейна. Мог бы и дальше скромно молчать. Но порядочность не входит в систему научных понятий. От слова совсем.
Потому — публикую.