Поговорим, упрощенно без формул, о методах и оценке погрешности расчетов и математического моделирования движения планет и различных тел под влиянием взаимной гравитации.
Наиболее универсальной математической моделью является система дифференциальных УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ Ньютона (далее уравнения движения) второго порядка, в которой тела представляются точечными и не учитывается внутреннее распределение масс и их взаимное перемещение во время движения. Также в уравнениях движения не учитывается скорость распространения гравитационных возмущений (скорость гравитации), априори она считается бесконечно большой.
Частным случаем уравнений движения являются УРАВНЕНИЯ ТРАЕКТОРИЙ, которые получаются для некоторых систем тел с многочисленными допущениями путем исключения времени из уравнений движения. Ярким примером уравнений траекторий являются кривые второго порядка – эллипсы, окружности, параболы, гиперболы. Эллипсы Кеплера это как раз пример уравнения траектории для случая двух тел, когда массой одного тела можно пренебречь по отношению к массе другого, в частности Солнца.
Решение уравнений траекторий гораздо проще и лежит в основе Небесной механики, так как не требует мощной вычислительной техники и уже несколько столетий успешно применяется для вычисления орбит космических тел. Существенным недостатком метода траекторий является то, что он дает весьма приближенные значения орбит без учета гравитационного влияния других планет или тел, поэтому требуется трудоемкая корректировка невозмущенных орбит путем введения многочисленных, порой до нескольких тысяч, поправок.
Тем не менее метод траекторий себя оправдал и позволил давать прогнозы для открытия новых планет, например, Нептуна. В других случаях многочисленные попытки решения уравнений траекторий не дали результатов, печальным примером является орбита Меркурия, при расчете которой просто невозможно учесть движение Солнца вокруг центра масс Солнечной системы (барицентр), потому была изобретена фиктивная подгоночная формула для расчета смещения перигелия орбиты, которая затем явилась основой для ОТО.
С появлением компьютеров появилась возможность расчетов движения тел в условиях взаимного гравитационного влияния путем решения исходных уравнений движения. Интегрирование уравнений движения осуществляется с шагом по времени известными методами, самым простым и самым неточным из которых является метод Эйлера. Но, например, NASA использует наиболее точный метод Адамса. Этот метод разработан и дает прекрасные результаты в баллистических расчетах.
Основной недостаток численного решения уравнений движения тел в том, что при больших космических расстояниях малые приращения координат округляются, ошибки интегрирования быстро накапливаются и решение катастрофически быстро разваливается.
На рисунке показан пример расчета тестовой задачи трех тел, одинаковой массы, равной массе Солнца и расстоянием до центра равным 6-ти астрономическим единицам. Начальные скорости тел таковы, что они должны двигаться по своим эллиптическим орбитам в идеале бесконечно долго. Разрядность переменных стандартная - 16 десятичных разрядов, но она оказалась явно недостаточной - тела быстро сошли со своих орбит.
Для уменьшения погрешности округлений возможно применить действительные переменные с большой разрядностью. Мне удалось разработать собственные переменные «BigDouble» с разрядностью до 36-ти разрядов и выше. Порядок переменных (экспонента) может быть в пределах +/- 32000, что позволяет использовать переменные даже для расчетов при межгалактических расстояниях. Величину разрядности можно устанавливать в программе, однако нужно учитывать, что увеличение заданной разрядности на единицу каждый раз увеличивает время расчетов более чем на 10 %.
Для решения задач внутри Солнечной системы достаточно 28 – 30 разрядов, дальнейшее повышение разрядности уже слабо влияет, а затраченное время быстро растет. Кроме того, в ходе исследований обнаружено, что для разных методов решения дифференциальных уравнений и разной разрядности существует оптимальный шаг интегрирования по времени. Обычно считается, что с уменьшением шага интегрирования погрешность решения уменьшается, но в нашем случае при космических расстояниях и очень малых приращениях координат начинают сказываться округления переменных.
На рисунке показано решение той же тестовой задачи с разрядностью 28, решение стабильно и на интервале 500 лет дает накопленную погрешность 1*10^-12 % в координатах и скоростях.
В своих темах на этом канале я привел некоторые результаты моделирования движения различных космических тел, в том числе достаточно точный расчет смещения перигелия Меркурия за долгий период и показал влияние на его орбиту движения Солнца вокруг центра масс Солнечной системы.