Ахиллес vs. Черепаха: как бесконечность ввела человечество в заблуждение
Парадокс «Ахиллес и черепаха» — одно из древнейших философских «головокружений». Почему очень быстрый бегун вдруг не может догнать самую медленную тварь на свете, если она получила небольшую фору? Казалось бы, в реальной жизни нет сомнений: Ахиллес «съест» эту фору за несколько мощных рывков и в два счета обгонит черепаху. Но легендарный Зенон уверял, что этому помешает… бесконечность! Как так?
В этой статье мы разберем, где скрывается подвох в «бесконечной погоне» и почему на деле никакого парадокса нет. Без заумной формулезы, но и без потери логики. В конце вы найдете «тест-драйв» самого парадокса — формальный расчет, который демонстрирует, почему Ахиллес всегда придет первым.
Глава 1. Суть апории: коротко и странно
- Представьте, что черепаха уже уползла на расстояние d от старта (это ее фора). Ахиллес же начинает с нуля.
- Пока наш герой добегает до отметки d, черепаха успевает уползти еще чуть дальше — допустим, до d + delta1.
- Когда Ахиллес оказывается в точке d + delta1, черепаха отползает на d + delta1 + delta2, и все повторяется снова и снова.
- Из всего этого Зенон (или его почитатели) делают вывод: раз «шагов» к черепахе бесконечно много, то и времени, чтобы их преодолеть, тоже нужно бесконечно много. Следовательно, догнать ее якобы «невозможно».
Согласитесь, это выглядит как-то нелепо, если мысленно представить живую картину гонки. Но чем именно «запахло» ошибкой?
Глава 2. Формальная проверка: где правда?
Чтобы не обвинить Зенона в обмане бездоказательно, давайте прикинем формулы.
- Пусть Ахиллес бежит с постоянной скоростью vA, а черепаха двигается со скоростью vT.
- Начинаем в момент t = 0: Ахиллес в точке 0, черепаха в точке d.
Тогда в любой момент времени t:
xA(t) = vA * t
xT(t) = d + vT * t
Хотим узнать, когда Ахиллес нагонит черепаху, то есть когда xA(t) = xT(t).
Решаем:
vA * t = d + vT * t
vA * t - vT * t = d
(vA - vT) * t = d
t = d / (vA - vT)
Разумеется, если vA > vT, то и (vA - vT) > 0, так что t получается конечным и положительным. Значит, Ахиллес догоняет черепаху. И точка.
Глава 3. Как бесконечность обманула всех
Откуда же «вылезла» идея, что Ахиллес обречен бесконечно догонять и никогда не догонит?
- По сути, Зенон сопоставил бесконечность «подэтапов» (каждый раз Ахиллес должен добежать до нового места, где только что побывала черепаха) с бесконечностью времени.
- Но в математике бесконечное число «кусков» не обязательно дает бесконечную сумму. Это классическая «засада» с бесконечными рядами: в геометрической прогрессии может быть бесконечно много добавок, которые в сумме дают конечное число.
Глава 4. Проверка на 4 законах логики
- Закон тождества: мы не смешиваем «число шагов» с «итоговым временем» просто так; у каждого понятия свое четкое определение.
- Закон непротиворечия: в нашем выводе нет взаимоисключающих утверждений «догонит и не догонит». Мы показываем, что «не догонит» — ошибка.
- Закон исключенного третьего: есть два варианта — либо догонит, либо нет, третье не дано. Расчет говорит: догонит.
- Закон достаточного основания: почему догонит? У нас есть конкретная формула t = d / (vA - vT), достаточное и ясное основание.
Таким образом, никакие фундаментальные принципы логики здесь не рушатся. Парадокс рождается лишь из некорректных умозаключений насчет бесконечных величин.
Глава 5. Итоги: Ахиллес побеждает
С математической точки зрения итог однозначен. При vA > vT Ахиллес нагонит черепаху за конечное время. «Бесконечные» подэтапы на самом деле укладываются в конечную сумму малых интервалов. Нет противоречий — есть интересный урок о том, как нас может запутать бесконечность.
Так что в реальном забеге черепаха остается черепахой, а наш герой всегда достигает цели. А мы получаем чудесный повод пофилософствовать о границах человеческого восприятия — ведь даже век спустя после Зенона люди до сих пор любят гадать, «а вдруг есть подвох?».