Армянин, всю жизнь проживший во Франции, Анри Верней родился в городе Родосте, расположенном в Турции.
Настоящее имя режиссера Ашот Малакян. Как и многие армяне, его семья бежала из обжитого места в Грецию, а оттуда собиралась обосноваться в Мексике. Однако судьба занесла их в Марсель, где они и прожили, пока не переехали в Париж.
Мальчику исполнилось десять лет, когда родители обосновались в столице Франции. Желая, чтобы сын получил лучшее образование, отец и мать будущего кинорежиссера, помимо его учебы в лицее Экуан-Провансе, наняли частного преподавателя армянского языка, чтобы сын не забывал языка предков.
В 1945 году после победы над фашизмом, когда весь мир ликовал и был озабочен миром во всем мире, Ашоту Малакяну предлагают написать статьи об армянском вопросе. Молодой журналист, заинтересованный данной проблемой, написал всю правду о геноциде армян 1915 года, и статьи получили горячий отклик.
Только в 28 лет Анри Верней понял, чем он хочет заниматься всю жизнь — снимать кино.
Будучи гуманитарием, Верней устроился помощником режиссера Робера Вернея, снявшего прогремевшую в те годы картину «Граф Монте-Кристо» с Жаном Марэ в главной роли.
Как благодарный ученик, Ашот, или, как его называли во Франции, Анри позаимствовал фамилию режиссера и с тех пор свои работы (статьи) подписывал этой фамилией.
Первую свою документальную ленту, посвященную любимому Марселю, молодой режиссер снимет в 1948 году. Затем станет режиссером тридцати короткометражных и документальных картин о городе детства.
В 1991 году Анри Труайя, также армянин по национальности, предлагает Вернею снять фильм об армянской семье, пережившей гонения и геноцид, и Верней осуществляет, таким образом, и свою тайную мечту.
Наконец фильм «Майрик», что в переводе обозначает "мамочка" посвящает своей семье и армянскому народу.
На примере своей семьи и своих воспоминаний Анри показывает жизнь эмигрантов, трудности, которые им пришлось пережить и их сплоченность.
Скончался режиссер в 2002 году, 11 января, на восемьдесят втором году жизни, так и не получив награду за фильм «Майрик» на родине. Премьера состоялась в 2010 году на 7 кинофестивале «Золотой абрикос» в Ереване. За отца приз получил сын, Патрик Малакян, взявший историческую фамилию армянских предков.
Великого режиссера на его исторической родине всегда помнят и почитают. 4 апреля 2015 года, во время проведения Дней Анри Вернёя, одна из улиц в центре Еревана была названа именем режиссера.