Напомним, что элементарные события называются равновозможными, если все они имеют одинаковые шансы на осуществление. Значит, эти элементарные события имеют равные вероятности. Если в случайном опыте N равновозможных элементарных событий, то вероятность каждого из них равна 1/N.
Пример 1. Игральную кость бросают два раза. Найдём вероятность события А «сумма очков меньше 7».
Решение. Для этого воспользуемся таблицей элементарных событий данного эксперимента и отметим красным цветом те из них, которые способствуют событию А.
Обозначим через N(А) число элементарных событий благоприятствующих событию А. Таких элементарных событий пятнадцать: N(А)=15. Общее число элементарных событий N=36, а вероятность каждого из них равна
Поэтому вероятность события А равна
Пользуясь предыдущим примером, мы получим
Это равенство можно выразить словами:
Если в случайном опыте все элементарные события равновозможны, то вероятность произвольного события А в этом опыте равна отношению числа элементарных событий , благоприятствующих событию А, к общему числу элементарных событий.
Пример 2. Дважды бросают симметричную монету. Найдём вероятность того, что оба раза выпадет одна и та же сторона.
Решение. Выпишем все элементарные события опыта: ОО. ОР, РО и РР.
Всего элементарных событий четыре: N = 4. Так как монета симметричная, элементарные события равновозможны. Из них ровно два события, ОО и РР, благоприятствуют событию В «оба раза выпадет одна сторона»: N(B) = 2. Запишем кратко решение задачи: N = 4, N(B) = 2, следовательно,
В предыдущих задачах мы имели дело с выбором одного случайного предмета из нескольких. Это выбор наудачу. Выбор наудачу означает выбор без каких – либо предпочтений. Выбор наудачу входит как часть во многие игры: наудачу выбирают номер при игре в лото; наудачу выбирают карты во многих карточных играх; в лотереях наудачу выбирают номера выигрышных билетов и т. д.
В социологических исследованиях выбор наудачу используется для формирования группы опрашиваемых людей. При контроле качества продукции также используется выбор наудачу, чтобы сократить расходы на контроль. Выбор наудачу очень важен при испытаниях новых лекарств и выяснении, насколько они эффективны и какие побочные эффекты могут дать.
Выбор наудачу называют также случайным выбором. Случайный выбор – это разновидность случайного опыта с равновозможными элементарными событиями. Элементарным событием в таком опыте является извлечение одного предмета из изучаемой группы. Такая изучаемая группа, из которой выбираются предметы, элементы или люди для опроса или испытаний, называется совокупностью или генеральной совокупностью.
Задание 1
Бросают одну игральную кость. Найдите вероятность события:
а) «выпадет чётное число очков»;
б) «выпадет число очков, кратное трём»;
в) «выпадет число очков, больше 3»;
г) «выпадет число очков, кратное 7».
Задание 2
В магазине в коробке 24 одинаковые авторучки. Из них 13 авторучек красные, 5 – зелёные, остальные – синие. Продавец наудачу достаёт одну авторучку. Найдите вероятность того, что извлечённая ручка:
а) красная;
б) не зелёная;
в) либо синяя, либо зелёная;
г) либо красная, либо синяя.
Задание 3
На соревнования приехали гимнастки из трёх стран. Из России 7 гимнасток, из Германии – 8, из Чехии – 5. Порядок выступлений гимнасток определяется жребием. Найдите вероятность того, что:
а) первой будет выступать гимнастка из России;
б) третьим по счёту будет выступление какой-нибудь гимнастки из Германии;
в) второй по счёту будет выступать гимнастка из России или Чехии;
г) последней будет выступать спортсменка, приехавшая не из Чехии.
Домашнее задание
1. Бросают одну игральную кость. Вычислите вероятность события:
а) «выпавшее число очков является делителем числа 12»;
б) «выпавшее число очков кратно 5»;
в) «выпадет больше 2 очков»;
г) «выпадет больше 1, но меньше 6 очков».
2. Бросают две игральные кости: жёлтую и зелёную. Вычислите вероятность события:
а) «сумма очков на обеих костях равна 7»;
б) «сумма очков на обеих костях равна 11»;
в) «на жёлтой кости выпало больше очков, чем на зелёной»;
г) «числа очков на костях различаются не больше чем на 2».