Рассмотрим решение задачи, которую подробно и интересно разобрал Валерий Казаков на своём канале. Это полезно посмотреть по ссылке.
А мы обсудим решение, доступное классом ниже, начиная с 8 класса. Мы два раза применим теорему Пифагора.
Итак задача.
1. В трапеции ABCD боковая сторона AB равна 7, диагональ AC и другая боковая сторона CD равны 9. Найдите площадь трапеции.
Итоговый кадр с ответом выглядит так:
Источник. Поступаем В МФТИ! Решает комсомолка. | Наглядная Геометрия | Дзен https://ya.ru/video/preview/6088006633584247025
Здесь вводились пять букв, два раза применялась теорема Стюарта для вычисления квадрата чевианы CK = l треугольника. Эту теорему знает не каждый ученик физмат-класса. И это не страшно. Важнее знать метод: применяем теорему косинусов для двух смежных углов в двух треугольниках.
А мы «решим эту задачу по-нашему, по неучёному», — как говаривал Удодов-старший в рассказе А. П. Чехова «Репетитор». Одним квадратным уравнением.
Решение. Обозначим длину верхнего основания также: x. Проведём высоты трапеции BM и CN.
По свойству описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон четырёхугольника равны, поэтому BC + AD = 7 + 9 = 16. Тогда AD = 16 – x.
Так как треугольник ACD равнобедренный и CN — высота и медиана, то
AN = ND = AD/2 = 8 – x/2.
Так как MN = BC = x, то AM = 8 – x/2 – x = 8 – 3x/2.
Теперь применим теорему Пифагора в двух треугольниках ABM и CDN для нахождения квадрата высоты трапеции и приравняем полученные результаты. Составим уравнение:
Получилось чуть короче и проще из-за использования меньшего числа теорем. И доступнее на класс раньше сильному ученику обычного класса. Игра стоила свеч.
Решим ещё одну задачу методом Удодова-старшего из рассказа «Репетитор».
Рассмотрим интересное решение задачи на канале Валерия Волкова.
2. Найдите площадь треугольника внутри прямоугольника, если площади других треугольников равны 6, 20, 21.
Это итоговый кадр с решением и ответом.
Источник. Найдите площадь треугольника внутри прямоугольника | Никто не решил | Valery Volkov https://ya.ru/video/preview/9187993175305080356
Решение задачи оказалось интересным, позволяющим повторить много вопросов, но уж очень оно алгебраическое, ввели четыре буквы, решали систему. Давайте попробуем решить задачу геометрически.
Замечено, что при решении задач на площади авторы решений часто проходят мимо простых решений, основанных на отношении площадей прямоугольников (треугольников), у которых основания лежат на одной прямой и равны высоты, проведённые к этим основаниям.
Решение. Скопируем наш прямоугольник и через две вершины треугольника проведём отрезки, параллельные сторонам прямоугольника. Площадь правого нижнего прямоугольника равна 12. Площадь левого верхнего обозначим x, тогда большой верхний прямоугольник имеет площадь 40, а правый верхний — 40 – x. Площадь большого прямоугольника слева равна 42, а левого нижнего — 42 – x.
Площади прямоугольников сверху пропорциональны площадям прямоугольников снизу, так как каждое из отношений длин отрезков, входящих в пропорцию, равно отношению длин отрезков, на которые поделено нижнее основание. Составим пропорцию:
x : (40 – x) = (42 – x) : 12.
Преобразование пропорции приводит к квадратному уравнению, имеющему корни 24 и 70.
Так как по смыслу задачи x < 40, то x = 24.
Тогда 40 – x = 16, 42 – x = 18, площадь всего прямоугольника равна 24 + 16 + 18 + 12 = 70.
Искомая площадь треугольника равна 70 – 20 – 21 – 6 = 23.
Ответ. 23.
Мимо такого упрощения решения задачи было невозможно пройти, а основано оно на упомянутом свойстве площадей прямоугольников (треугольников), основания которых лежат на одной прямой, а высоты, проведённые к этим основаниям, равны.