Год назад на канале «Этому не учат в школе» появилась задача с таким заголовком.
Суперголоволомка. Найти площадь центрального четырёхугольника
В прямоугольнике провели четыре отрезка, как показано на рисунке, получилось 6 треугольников и один четырёхугольник. Площади четырёх треугольников заданы: 32, 3, 8, 27. Определите площадь четырёхугольника.
Авторское решение приводит к долгим рассуждениям, результат которых зафиксирован итоговым кадром.
Источник. https://dzen.ru/video/watch/65575f3089b0414f259ced23?ysclid=m5jrdgbuau273580686
Давайте решим эту задачу без лишних вычислений. Сделаем более правдоподобный рисунок, учитывая те вычисления, что провёл автор решения, пользуясь подобием треугольников, но тот же результат можно было получить и на неверном чертеже.
Проведём в четырёхугольнике KLMN диагональ NL. Площади треугольников ABN и ALN равны, так как у них общее основание и равные высоты, проведённые к этому основанию.
Если из этих равных площадей вычесть поровну — по 8, то получим равные площади треугольников, обозначим их a. Аналогично получим равные площади треугольников, которые обозначим b.
Воспользуемся тем, что отношение BK : KN равно a : 8 и 32 : a. Решив пропорцию a : 8 = 32 : a, получим, что a = 16.
Аналогично, решив пропорцию b : 27 = 3 : b, получим: b = 9.
Искомая площадь равна a + b = 16 + 9 = 25.
Ответ. 25.
Замечание. В задаче имеется лишнее данное. Любое из четырёх чисел, данных в условии задачи, можно исключить. И легко найти его из условия: площади треугольников BNC и ALD с равными основаниями и с равными высотами, проведёнными к этим основаниям, равны.