Борис Иванович Терентьев родился 8 мая 1923 года в станице Великокняжеская Сальского округа Донской области (ныне это город Пролетарск Ростовской области) в семье рабочего. Повзрослев, Борис Иванович пошёл в школу, окончил 6 классов. В 1936 году его семья переехала в Сальск. Борис завершил учёбу в школе № 9, после чего с 1939 года стал учеником токаря, затем, набравшись опыта, работал токарем на механическом заводе им. Братьев Красновых.
5 марта 1942 года Бориса Ивановича призвали на фронт. Там он проходит обучение в пулемётной школе и с 10 июля 1942-го отправляется в 619-й стрелковый полк, входивший в состав Донского фронта. Своё боевое крещение получил в боях за станицу Вешенскую. Участвовал в тяжелых оборонительных боях под Сталинградом, на Еланском плацдарме.
В ноябре 1942 года началась подготовка советских войск к наступлению. 203-я стрелковая дивизия, в которой служил наш герой, должна была прикрывать фланг 5-й танковой армии. Ударная танковая группа намеревалась окружить врага в междуречье Дона и Волги. Именно там пулемётчик 3-й пулемётной роты 3-го стрелкового батальона Борис Иванович Терентьев продемонстрировал воинскую доблесть и героизм.
203-я дивизия получила приказ атаковать противника, форсировать Дон и захватить плацдарм на правом берегу. Пулемётное отделение Терентьева 6 дней не выходило из боя. Упорно, шаг за шагом, продвигаясь вперёд, наши солдаты выбивали противника из придонских хуторов и деревень. Немцы не смогли сдержать натиск наших сил и отошли на третью линию обороны.
Рано утром 26 ноября Борис Иванович поднял своих бойцов и под прикрытием тумана выдвинулся вперёд, заняв удобную огневую позицию в двухстах метрах от вражеских окопов. Тогда же, получив подкрепление, немцы ринулись в контратаку. В тот день пулемёт товарища Терентьева не умолкал, успешно отразив 6 яростных атак противника. Но погибали его боевые товарищи, потеряв подносчика патронов и второй номер расчёта, Борис Иванович остался один. А гитлеровцы вновь поднялись в атаку. Сменив позицию, товарищ Терентьев бил наверняка, в упор, подпуская фашистов на предельно близкое расстояние. В его сторону летели пули и осколки бомб, звонко ударяя по бронированному щитку пулемёта. В момент один из осколков ранил бравого пулемётчика, перебив левую ногу. Рана оказалась тяжёлой. Истекая кровью, Борис Иванович продолжал вести огонь. Отбив последнюю атаку противника, он привязал свой пулемёт к здоровой ноге, и превозмогая боль, приполз в расположение своей части, оставляя кровавый след на снегу.
Командование полка, за самоотверженное сдерживание врага, представило рядового к ордену Красного Знамени, но командир дивизии генерал-майор Гавриил Зданевич изменил представление на более высокую награду. Указом Президиума Верховного Совета СССР от 14 февраля 1943 года Терентьеву Борису Ивановичу за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецко-фашистскими захватчиками и проявленные при этом мужество и героизм было присвоено звание Героя Советского Союза.
В феврале 1944 года, после госпиталя и ампутации ноги, Борис Иванович был демобилизован из армии по инвалидности. Вернувшись в Сальск, работал начальником автоколонны автобазы, а после ушел на заслуженный отдых по инвалидности в 1964 году. Борис Иванович ушел из жизни 12 октября 1981 года. Похоронен в Сальске на площади Свободы на мемориальном комплексе «Поклон». Там же находится стела с его барельефом. В память о герое в Сальске названа улица в его честь, а сальским Домом пионеров учреждены велосипедные гонки на Приз памяти Героя Советского Союза Б. И. Терентьева. Приз был учреждён ещё при жизни Бориса Ивановича, и он лично вручал кубок победителям первых соревнований.