В шестом задании ЕГЭ по профильной математике вы можете встретить логарифмическое уравнение (или показательное, но сводимое к логарифмическому). Решить их крайне просто, нужно лишь попрактиковаться. Прямо сейчас я разберу парочку таких уравнений, захвачу и простые и посложнее. Прежде чем посмотреть моё решение, рекомендую попробовать самостоятельно. Если вы читали предыдущие мои статьи, то все вводные у вас есть.
Важно! В первой части ЕГЭ ответ на любое задание максимально прост и красив, дабы вы смогли записать его в бланк ответов. Соответственно и вычисления будут несложные и все логарифмы будут легко вычисляться.
Для начала возьмем самое легкое уравнение:
Решение буквально в четыре строчки. Все логарифмические уравнения у нас будут сводиться к такому равенству:
После чего мы сможем сказать, что аргументы логарифмов равны и работать уже только с ними. В нашем случае, мы можем представить двойку в виде логарифма по основанию 5. Почему 5? Потому, что равны логарифмы только с одинаковым основанием. Получаем следующее:
Мы заметили, что логарифм по основанию пять равен двойке только при аргументе 25. Другими словами, 5 в степени 5 равно только 25.
Но что, если мы не заметили? Есть универсальный способ, который работает всегда, но он занимает чуть больше времени.
Домножим все уравнение на 1. В левой части у нас всё остается как есть, а вторая часть будет такой:
Следовательно, двойка наша переходит в степень аргумента. Тогда мы получаем тот же самый логарифм 5 от 25. Ну а дальше мы видим логарифмы с одинаковым основанием, а значит работаем уже с их аргументами:
Ура, товарищи! Мы получили линейное уравнение, x = 21. Можете сделать самопроверку, подставив значение x в первоначальное уравнение.
В следующем уравнении многие делают одну и ту же ошибку, будьте внимательны:
Итак, убрать логарифмы мы не можем, мешается единица. Её мы можем представить как логарифм 2 от 2, ведь нам нужны одинаковые основания. Хочется уже приравнять аргументы, но увы, так нельзя. Смотрите выше: равенство, к которому мы должны прийти, не содержит никаких слагаемых и множителей!
Вернемся к решению:
Мы видим в правой части сложение логарифмом. По свойству приведем:
Будьте внимательны, мы умножаем двойку на весь аргумент (3 + x)! Не забывайте про скобки.
Умножаем 2 на (3+x) и уходим от логов:
Решаем всем нам знакомое линейное уравнение и получаем ответ x = -2.
Ну, тут вообще легко. Мы раскладываем произведение аргументов на сумму логарифмов:
Выносим степени аргументов по свойству:
Сразу видим логарифм a от a это единица, 6 * 1 = 6 и 10 * 8, так как по условию ей равен лог a от b. Ну 6 + 80 = 86, вот и ответ.
Видим огромное число в основании. Заметим, что 81 — это 3 в степени 4. Выносим по свойству все степени:
Лог 3 от 3 это единица, получаем следующее:
Дробное уравнение приводим к линейному по свойству пропорции:
x = 7. Проверяйте!
На этом всё, в следующей статье буду разбирать задания второй части. Они более сложные и интересные, там необходимо думать, рассуждать и замечать.
Кстати, коротко про "заметим, что...". Что делать, если не замечается? Практиковаться. От простого к сложному. И если не получается заметить, встаньте со стула, попейте воды, прогуляйтесь и вернитесь к задаче с новыми мыслями. Либо возьмите задачу попроще.
И вот вам домашнее задание:
Желаю успехов!