В предыдущей статье мы разобрались в том, что называют логарифмом и для чего он нужен. Пришло время рассказать о его свойствах, ведь без них решить 6, 7, 13 и 15 задания профильного ЕГЭ будет не представляется возможным. Кстати, логарифмы встречаются и в базовом уровне ЕГЭ. Для полного понимания логарифмов необходимо знать и уметь пользоваться свойствами степеней. Если вы не понимаете степени, рекомендую разобраться сначала с ними.
Приведу первое свойство:
Почему так? Запишем наше равенство без логарифма:
Мы получаем свойство степени. Вспомним, что любое не равное нулю число в нулевой степени всегда равно единице. Ноль в нулевой степени лишен смысла и не определен. Делаем вывод, что логарифм на самом деле имеет много общего со степенями. Идем дальше!
Когда логарифм всегда равен единице?
Когда основание логарифма и его аргумент есть одно и то же число. Почему? Помним, что значение логарифма — это показатель степени основания. Привожу свойство степени: любое число в степени 1 равно самому себе.
Это довольно очевидные свойства, которые интуитивно понятны всем. Разберем чуть более сложные свойства:
Выглядит сложно и непонятно. Но мы идем по тому же способу. Только сейчас мы равенство представим в виде логарифма. Попробуйте для практики сделать это самостоятельно. А вот, что получилось у меня:
Я думаю, что не всем будет понятно, так что объясню поэтапно:
1. Выносим логарифм в правую сторону, так как значение логарифма еcть показатель степени.
А теперь, в левой части пишем логарифм, в котором a основание, b аргумент. И получаем то, что вы видели выше.
Следующее свойство будет выполняться при x > 0, y > 0:
В правой части равенства видим сложение показателей, сразу понимаем, что это умножение степеней. Главное, чтобы были соблюдены ограничения!
Вы можете догадаться, что с делением степеней показатели вычитаются и будете правы. Вот так это можно описать логарифмически:
Ну, и когда мы возводим степень в степень, показатели мы перемножаем. Логарифмируем это свойство:
А ещё, мы можем поменять основание и аргумент местами, вот так:
Это свойство редко используется в решении задач ЕГЭ, но все же будет полезно знать.
Чтобы вы поняли, почему так происходит, я приведу последнее свойство:
Если мы отсюда выразим любой из множителей, получим предыдущее свойство.
Все эти свойства вы должны держать в голове, чтобы успешно решать задачки. В следующей статье я разберу парочку простейших задач на логарифмы из профильного ЕГЭ. Решить их сможет каждый из вас.
Всего хорошего!