Многие из нас боятся логарифмов еще со школьных времен. Это слово звучит как минимум непривычно после дробей, степеней и функций. Эти слова мы понимаем, потому что можем представить их в своем воображении.
Тем не менее, логарифмы важно понимать не только школьникам, сдающим ЕГЭ, но и экономистам, медикам, химикам, инженерам и аналитикам. В этой статье я собрал всю основную информацию с логарифмах, после изучения которой, вы будете разбираться с более сложными его свойствами и решать простейшие задачи.
Определение
Начнём издалека. Есть у нас равенство:
Но, что если вместо 25 у нас будет, например, 24. Тогда вместо двойки у нас будет другое число, которое мы пока что не знаем. Обозначим его за x. Тогда мы получаем простейшее показательное уравнение из ЕГЭ по математике:
Чтобы решить данное уравнение нам понадобится калькулятор. Придется подбирать числа, но у нас вряд-ли есть время на перебор. Хочется нажать на какую-нибудь кнопочку и получить ответ. Именно для этого придумали логарифм. Он обозначен как «log». Теперь перейдём к определению.
Дополню, что ограничения имеет не только основание a, но и аргумент b. Он должен быть строго больше нуля. На картинке вы видите равенство a в степени c равно b. Это буквенная запись нашего примера. А теперь попробуйте записать наше равенство 5^x=24 в виде логарифма. У вас должно получиться следующее:
Если вы решаете ЕГЭ, то это и будет ваш ответ. Дальше посчитать сможет только калькулятор. Но вот незадача! На калькуляторе нет кнопки log. Есть только «lg» и «ln». Но, тут все крайне просто.
«lg» — десятичный логарифм
Его можно записать следующим образом:
«ln» — натуральный логарифм
Его можно записать так:
Тоесть, натуральным логарифмом называют логарифм, в основании которого число Эйлера.
Если кратко, то число Эйлера (e) — математическая константа, иррациональное и трансцендентное число. Приблизительно равно 2,71828. Про это число будет отдельная статья.
Но наша задача все еще не решена. Мы поняли, что означают кнопки «lg» и «ln» на калькуляторе, но после нажатия на них мы получаем следующую запись:
Что нам писать в скобки? Ведь натуральный логарифм числа 24 не будет равен логарифму 24 по основанию 5. Для этого существует замечательное свойство логарифма:
Простыми словами, мы можем любой логарифм представить в виде дроби со своим рандомным основанием, главное, чтобы оно было одинаковое. Но в калькуляторе есть только два логарифма, и мы знаем их основания: 10 и e. Тогда это свойство для нас может выглядеть, например, вот так:
Теперь мы можем смело вводить эту дробь в калькулятор и находить ответ:
Наш икс найден. Вот так, зная, что такое логарифм, и умея пользоваться лишь одним его свойством, можно избежать перебора в решении простых показательных уравнений.
В следующей статье разберем свойства логарифма.
Спасибо за прочтение!