Полиномиальное время
- Полиномиальное время —время выполнения алгоритма, которое растёт как полином (многочлен) от размера входных данных. Если время выполнения алгоритма можно выразить как (O(n^k)), где (n) — размер входных данных, а (k) — константа, то такой алгоритм работает за полиномиальное время.Примеры:
Сортировка списка: Алгоритмы, такие как сортировка слиянием или быстрая сортировка, работают за (O(n \log n)), что является полиномиальным временем.
Поиск кратчайшего пути в графе: Алгоритм Дейкстры работает за (O(n^2)) или (O(n \log n)) в зависимости от реализации, что также полиномиально.Особенности:
Алгоритмы, работающие за полиномиальное время, считаются эффективными и практически применимыми.
Задачи, которые можно решить за полиномиальное время, относятся к классу P.
Графики роста скорости сложности задач.
n - количество задач
По оси ординат (y) количество вычислений.
Формулы кликабельны 👇
Экспоненциальное время
Экспоненциальное время — время выполнения алгоритма, которое растёт экспоненциально в зависимости от размера входных данных. Если время выполнения можно выразить как (O(k^n)), где (n) — размер входных данных, а (k) — константа, то такой алгоритм работает за экспоненциальное время.Примеры:
Задача коммивояжёра: Решение методом полного перебора всех возможных маршрутов требует (O(n!)) времени, что хуже экспоненциального.
Перебор всех подмножеств: Алгоритм, который проверяет все возможные подмножества множества из (n) элементов, работает за (O(2^n)).Особенности:
Алгоритмы, работающие за экспоненциальное время, считаются неэффективными для больших входных данных, так как время выполнения становится непрактично большим даже при относительно небольших (n).
Задачи, которые могут быть решены только за экспоненциальное время, часто относятся к классам NP-трудных или NP-полных.
Алгоритмы, работающие за полиномиальное время, считаются практически применимыми, так как они могут обрабатывать большие объёмы данных за разумное время.
Задачи класса P (решаемые за полиномиальное время) являются основой для многих приложений в компьютерных науках, таких как обработка данных, сети, криптография и искусственный интеллект.
Алгоритмы, работающие за экспоненциальное время, становятся непрактичными даже для относительно небольших входных данных. Например, при (n = 100), (2^n) уже превышает количество атомов в наблюдаемой Вселенной.
Задачи, которые могут быть решены только за экспоненциальное время, часто требуют использования приближённых методов, эвристик или параллельных вычислений.
Пример для понимания
Задача её для (n = 10) и (n = 100):
- Полиномиальное время ((n^2)):
При (n = 10): (10^2 = 100) операций.
При (n = 100): (100^2 = 10,000) операций. - Экспоненциальное время ((2^n)):
При (n = 10): (2^{10} = 1,024) операций.
При (n = 100): (2^{100} \approx 1.26 \times 10^{30}) операций.
При (n = 100) полиномиальный алгоритм выполнит 10 000 операций, что вполне реально, а экспоненциальный алгоритм потребует (1.26 \times 10^{30}) операций, что практически невозможно.