В сегодняшней статье хочу разобрать основные теоремы и задания, которые встречаются в 17 задании ОГЭ по математике.
Четырёхугольник — геометрическая фигура, у которой 4 вершины и 4 стороны.При этом никакие три из данных точек не лежат на одной прямой, а соединяющие их отрезки не пересекаются (не имеют общих внутренних точек).
Не существует четырехугольников, у которых все углы острые или все углы тупые.
Каждый угол четырехугольника всегда меньше суммы трех остальных углов:
Каждая сторона четырехугольника всегда меньше суммы трех остальных сторон:
Правильный четырёхугольник — четырёхугольник, у которого все стороны и все углы равны. То есть, другими словами, это квадрат.
Четырёхугольники бывают выпуклыми и невыпуклыми.
Выпуклый четырёхугольник лежит по одну сторону от прямой, проходящей через любые две соседние вершины.
А вот если четырёхугольник лежит по разные стороны хотя бы от одной прямой, проходящей через две соседние вершины, то он является невыпуклым.
Диагоналями четырехугольника называются отрезки, соединяющие его противолежащие вершины.
Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются, а невыпуклого — нет.
В выпуклых все диагонали находятся внутри фигуры, в невыпуклых хотя бы одна диагональ выходит за пределы фигуры.
Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360 градусов.
В зависимости от того, как соотносятся стороны и углы относительно друг друга, будет различаться внешний вид четырёхугольника и его название.
Различают несколько видов четырёхугольников:
1. Параллелограмм.
Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны.
Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.
Свойства диагоналей параллелограмма:
- В параллелограмме точка пересечения диагоналей делит их пополам.
2. Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
3.Точка пересечения диагоналей — центр симметрии параллелограмма.
4. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон.
Биссектриса угла параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.
Свойства биссектрисы параллелограмма:
- Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
2. Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма пересекаются под прямым углом.
3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.
Свойства параллелограмма
К ним относятся такие:
- Противоположные стороны фигуры равны (то есть для параллелограмма AВCD: AB = DC и AD = ВС).
- Ее противоположные углы равны.
- Сумма углов, прилегающих к одной стороне параллелограмма, составляет 180 градусов.
Также не стоит забывать свойства диагоналей параллелограмма и биссектрисы параллелограмма (об этом упомянула выше).
Признаки параллелограмма
Принято выделять признаки параллелограмма, позволяющих выделять его среди других геометрических фигур:
- Четырехугольник, у которого две расположенные друг напротив друга стороны параллельны и равны, является параллелограммом.
- Четырехугольник, у которого две расположенные друг напротив друга стороны попарно равны, является параллелограммом.
- Четырехугольник, диагонали которого делятся пополам в точке пересечения, является параллелограммом.
- Если в четырёхугольнике сумма любых двух соседних углов равна , то этот четырёхугольник параллелограмм.
- Если в четырёхугольнике противолежащие углы попарно равны, то этот четырёхугольник параллелограмм.
Формулы площади параллелограмма:
1. S = a × h, где a — сторона, h — высота.
2. S = a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними. Для ромба формула примет вид S = a2 × sinα.
Периметр параллелограмма — сумма длин его непараллельных сторон, умноженная на два.
P = 2 × (a + b), где a и b — длины непараллельных сторон.
2. Ромб.
Ромб — четырехугольник (параллелограмм), у которого все стороны равны.
Одним из видов ромба является квадрат.
Основные свойства ромба
Ромб — параллелограмм, следовательно, все свойства параллелограмма присущи и ромбу (о них упоминалось выше). Но можно выделить свойства, которые справедливы только для ромба.
1. Все стороны ромба равны.
2. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
3. Диагонали ромба являются его биссектрисами.
4. Сумма квадратов диагоналей равен четырем квадратом стороны.
Признаки ромба:
1. Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то он является ромбом.
2. Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом.
3. Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм является ромбом.
Формулы площади ромба
3. Прямоугольник
Прямоугольник — четырехугольник (параллелограмм), у которого все углы прямые. Также прямоугольником может являться квадрат.
Признаки прямоугольника
Параллелограмм является прямоугольником, если выполняется хотя бы одно условие:
- Все углы параллелограмма прямые.
- Диагонали параллелограмма одинаковые.
- Квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов соседних сторон.
Свойства прямоугольника
Каждый прямоугольник является параллелограммом, а значит, что все свойства параллелограмма присущи и прямоугольнику (о них упоминалось выше).
Кроме того, есть свойства характерные именно для этой геометрической фигуры.
- Каждая сторона прямоугольника является его высотой.
- Диагонали прямоугольника всегда равны.
- Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его соседних сторон.
4. Диагональ прямоугольника, вписанного в окружность, является диаметром этой окружности.
4. Квадрат
Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Можно дать и другое определение квадрата.
Квадрат — это ромб, у которого все углы прямые.
Получается, что квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, прямоугольника и ромба.
Квадрат относится к правильным многоугольникам. У правильного многоугольника все стороны равны и все углы равны.
Перечислим свойства квадрата:
1. Все углы квадрата — прямые, все стороны квадрата — равны.
2. Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.
3. Диагонали квадрата делятся точкой пересечения пополам.
4. Диагонали квадрата являются биссектрисами его углов (делят его углы пополам).
5. Диагонали квадрата делят его на 4 равных прямоугольных равнобедренных треугольника.
Признаки квадрата:
- Если смежные стороны прямоугольника равны, то этот прямоугольник — квадрат.
- Если один из углов ромба прямой, то этот ромб — квадрат.
- Если диагонали ромба равны, то этот ромб — квадрат.
- Если четырёхугольник является прямоугольником и ромбом, то он — квадрат.
Формулы площади и периметра квадрата
5. Трапеция
Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – не параллельны.
Элементы трапеции:
1) Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а непараллельные – боковыми сторонами трапеции.
2) Средняя линия трапеции – это отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон и параллельный основаниям трапеции.
Средняя линия равна полусумме оснований трапеции.
3) Высота трапеции – перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований трапеции к прямой, содержащей другое основание.
В трапеции можно провести две диагонали.
Виды трапеций
Вышеперечисленные элементы есть у всех трапеций без исключений. А по виду трапеции делятся на:
- обычные,
- равнобедренные или равнобокие — у них равны боковые стороны и углы при основании,
- прямоугольные, у которых один из углов при основании равен 90°, т. е. одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям трапеции.
Свойства и признаки равнобедренной трапеции
Для равнобедренной трапеции характерны следующие свойства:
1. Равенство углов при основаниях: углы, прилежащие к одному основанию, равны.
2. Равенство диагоналей: диагонали равнобедренной трапеции равны.
Свойства и признаки прямоугольной трапеции
Основные свойства прямоугольной трапеции включают:
1. Наличие прямого угла: один угол между основанием и боковой стороной равен 90 градусам.
2. Перпендикулярность боковой стороны и основания: одна из боковых сторон является высотой трапеции.
Свойства трапеции:
1. Если трапецию можно вписать в окружность, то она – равнобокая.
2. Для трапеции справедливо свойство любого четырёхугольника: сумма её углов равна 360°.
3. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180°.
4. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.
5. Треугольники AOD и COB, образованные при пересечении диагоналей, подобны: k = AD/BC.
Треугольники ABO и DCO имеют одинаковую площадь, т. е. они равновеликие.
6. «Замечательное свойство трапеции»: точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
7. В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон: AB + CD = BC + AD.
8. Биссектрисы смежных углов трапеции пересекаются под прямым углом.
На этом наш обзор задания № 17 подошел к концу. Подписывайтесь на мой канал , чтобы не пропускать новые полезные материалы. Поставьте лайк, если данная статья была полезна вам! До новых встреч, дорогие друзья!