Интересный и простой факт: бесконечность может быть разной, одна бесконечность может быть больше другой.
1. Счетная бесконечность
Сначала представим, что мы считаем обычные целые числа: 1, 2, 3, 4, 5, и так далее, в бесконечность. Это называется счетной бесконечностью, потому что можно представить, как мы начинаем с 1 и постепенно "перебираем" все числа, переходя от одного к другому, шаг за шагом.
Важно заметить, что хоть мы и не можем "досчитать" до конца, мы все равно можем перечислить все эти числа по очереди, начиная с 1, потом 2, потом 3, и так бесконечно.
Множество всех целых чисел (и даже всех натуральных чисел) называется счетным, потому что мы можем сопоставить каждому числу его порядковый номер, то есть, мы можем поставить числа в "очередь", пронумеровав их.
2. Несчетная бесконечность
Теперь давайте представим другую бесконечность — множество всех дробей (или рациональных чисел). Это такие числа, как 1/2, 3/4, 5/6, 7/8, и так далее. Все эти числа тоже бесконечны, но интересный момент заключается в том, что они являются несчетными. Как это понять?
Когда мы думаем о дробях, между любыми двумя целыми числами, например, между 1 и 2, существует бесконечно много дробей: 3/2, 7/4, 9/5, и так далее. То есть, дроби заполняют все промежутки, и их гораздо больше, чем просто целых чисел.
Мы не можем просто перебрать все дроби, как мы делаем с целыми числами, потому что между ними всегда будет еще бесконечно много других дробей. Они как бы "заполняют" все пространство между целыми числами.
3. Почему дроби — это "большая" бесконечность?
Вот ключевая идея: не все бесконечности одинаковы. Множество всех дробей — это бесконечность большего размера, чем просто множество целых чисел, несмотря на то, что оба этих множества бесконечны.
Георг Кантор доказал, что хотя мы можем представить целые числа как последовательность, в случае дробей мы не можем просто так записать их все по очереди. Дроби "густо заполняют" пространство между целыми числами, и их больше, чем целых чисел, даже если оба множества бесконечны.
Это показывает, что есть бесконечности, которые "больше", чем другие, и это открытие стало основой для теории мощности множеств в математике.
4. Вывод
Хотя и целые числа, и дроби — это бесконечности, дроби — это "более густая" бесконечность, потому что между каждым целым числом существует бесконечно много дробей. И это доказательство Кантора потрясло мир математики, потому что оно показало, что бесконечности бывают разных размеров.