В сегодняшней статье хочу разобрать основные теоремы и задания, которые встречаются в 15 задании ОГЭ по математике.
Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, которые не лежат на одной прямой и последовательно соединены отрезками.
Вершины треугольника принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита. Стороны треугольника можно обозначить через названия двух вершин, точки которых являются началом и концом отрезка (стороны). Если же вершины не обозначены, стороны можно записать через малые буквы латинского алфавита.
Треугольники бывают трёх видов:
- Остроугольные (все углы, входящие в состав, острые).
- Прямоугольные (один угол прямой, равен 90°, остальные острые).
- Тупоугольные (один угол тупой, остальные острые).
Также выделяют равнобедренные и равносторонние треугольники.
- Равносторонний треугольник — треугольник, все стороны и углы которого равны.
- Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого равны боковые стороны и углы при основании.
Сумма углов в треугольнике равна 180 ⁰.
Пять линий треугольника:
1. Медиана треугольника – отрезок, проведенный из вершины угла треугольника к противолежащей стороне и делящий эту сторону пополам.
В треугольнике можно провести три медианы, все они будут лежать внутри треугольника и пересекаться в одной точке. Эта точка называется замечательной точкой треугольника, а также является его центром тяжести.
Свойства медиан треугольника:
1. Точка пересечения медиан в треугольнике делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
2. Медиана делит треугольник на два треугольника с одинаковой площадью.
3. Треугольник делится тремя своими медианами на шесть равновеликих треугольников.
4. В правильном треугольнике любая медиана является высотой и биссектрисой.
5. В равнобедренном треугольнике медианы, проведённые к равным сторонам, равны, а третья является и биссектрисой, и высотой.
6. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине.
2. Биссектриса треугольника – отрезок, проведенный из вершины к противолежащей стороне и делящий этот угол пополам.
Биссектрисы углов лежат внутри треугольника и пересекаются в одной точке, которую также называют замечательной. Она является и центром вписанной в треугольник окружности. (Именно это высказывание рекомендую выучить наизусть, так как его любят давать в 19 задании!)
Свойства биссектрисы треугольника:
- Если в треугольнике две биссектрисы равны, то такой треугольник является равнобедренным. При этом третья биссектриса будет является и медианой, и высотой.
- В равностороннем треугольнике все биссектрисы равны друг другу.
- Расстояния (кратчайшие расстояния) от сторон угла до любой точки биссектрисы одинаковы.
- Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон.
3. Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
Чаще всего высоту обозначают буквой h (H).
В зависимости от типа треугольника, высоты и точка их пересечения (ортоцентр) могут располагаться по-разному.
4. Серединный перпендикуляр – это прямая, проходящая через середину отрезка (сторона треугольника) и перпендикулярно к нему.
Точка пересечения серединных перпендикуляров в остроугольном треугольнике лежит внутри треугольника; в тупоугольном – вне треугольника; в прямоугольном – на середине гипотенузы.
Свойства срединных перпендикуляров треугольника:
1. Любая точка серединного перпендикуляра к стороне равноудалена от концов этой стороны.
2. Любая точка, равноудаленная от концов стороны, лежит на серединном перпендикуляре к ней.
3. Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника. (Тоже рекомендую выучить наизусть!)
5. Средняя линия треугольника — линия, соединяющая середины двух сторон и параллельная третьей.
Формулы периметра и площади треугольника.
Периметр треугольника – сумма длин всех сторон.
Для вычисления площади треугольника используют большое количество формул, вот самые важные.
Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны.
Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол равен 90⁰.
Свойства прямоугольного треугольника:
1. сумма острых углов равна 90⁰.
2. катет, лежащий напротив угла 30⁰ равен половине гипотенузы.
3. медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
ТЕОРЕМА ПИФАГОРА: Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Также для изучения теории прямоугольных треугольников предлагаю изучить теорему о пропорциональных отрезках.
1. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой.
2. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.
Теоремы о соотношениях между сторонами и углами треугольника
1. В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) обратно, против большего угла лежит большая сторона.
2. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
3. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).
Теорема НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА:
Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Признаки равенства треугольников - это условия, при которых два треугольника считаются равными.
- Первый признак: по двум сторонам и углу между ними.
- Второй признак: по стороне и двум прилежащим углам.
- Третий признак: по трём сторонам.
Первый признак равенства треугольников:
Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Второй признак равенства треугольников:
Это условие, при котором два треугольника считаются равными, если у них одна сторона и два прилежащих к этой стороне угла равны соответственно одной стороне и двум прилежащим к этой стороне углам другого треугольника.
Третий признак равенства треугольников:
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Подобие треугольников
Подобные треугольники — такие треугольники, у которых совпадает форма, но не размер (длины сторон).
Коэффициент подобия — это число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.
Три признака подобия треугольников:
- Первый признак: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
- Второй признак: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
- Третий признак: если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Признаки подобия треугольников — тема, которая очень часто используется при решении задач. Если в задаче один треугольник разделён на несколько треугольников с помощью биссектрис, высот, медиан, и вы не знаете, с чего начать — проверьте подобие: в 8 случаях из 10 это будет являться ключом к решению всей задачи.
Синус, косинус и тангенс угла
Синус, косинус, тангенс угла — это важные понятия в тригонометрии. Без них невозможно продолжить изучение геометрии, решать задачи. Эти понятия являются базовыми основами в тригонометри.
Определения тригонометрических понятий
Прямой угол у нас всегда равен 90 градусов. Давайте узнаем, чему равны синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла.
- синус острого угла — это отношение противолежащего (дальнего) катета к гипотенузе;
- косинус острого угла — это отношение прилежащего (близкого) катета к гипотенузе;
- тангенс острого угла — это отношение противолежащего (дальнего) катета к прилежащему (близкому). При вычислении его по формуле косинус не должен быть равен 0;
- котангенс острого угла — это отношение прилежащего (близкого) катета к противолежащему (дальнему). При вычислении его по формуле синус не должен быть равен нулю.
Теоремы косинусов и синусов
Теорема синусов
Теорема синусов формулируется следующим образом: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
Теорема косинусов
Она звучит следующим образом: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведения этих сторон на косинус угла между ними.
На этом наш обзор задания № 15 подошел к концу. Подписывайтесь на мой канал , чтобы не пропускать новые полезные материалы. Поставьте лайк, если данная статья была полезна вам! До новых встреч, дорогие друзья!