Всем привет, меня зовут Андрей, это снова я!
Недавно я увидел на канале Валерия Казакова очень интересную задачу. Но автор этого канала решил эту задачу не самым лучшим и не самым быстрым способом.
Я же в данной статье предлагаю более короткий и более простойспособ решения этой задачи.
Итак, сама задача:
Итак, имеется равносторонний треугольник ABC и квадрат MNPC со стороной, длина которой равна √(3). Нужно найти площадь трапеции ANKC, а также радиус окружности, описанной около этой трапеции.
Решение.
1) Нарисуем так чертеж, чтобы были видны градусные меры основных углов:
Итак, основные градусные меры - это 30 и 60 градусов.
2) Теперь очевидно, что треугольники AMN и KCP равны (это прямоугольные треугольники, и они равны по катету, который равен стороне квадрата, и прилежащему углу).
3) Из равенства треугольников следует равенство их площадей. А это значит, что площадь трапеции ANKC равна площади квадрата MNPC и равна трем.
Можно это пояснить чуть подробнее. Если к площади прямоугольной трапеции MNKC прибавить площадь треугольника KPC, то мы получим площадь квадрата MNPC. Но если к той же прямоугольной трапеции прибавить треугольник AMN, то мы получим трапецию ANKC, а ее площадь будет той же, что и у квадрата, потому что мы к прямоугольной трапеции добавляем такой же треугольник, который добавляли чуть ранее, их площади равны. Итак, площадь трапеции ANKC = 3. Для вычисления этой площади вовсе не нужна ни площадь трапеции, ни длины оснований трапеции.
4) Найдем радиус описанной окружности. Он будет равен радиусу окружности, описанной возле треугольника ANC:
В любом квадрате диагональ равна стороне, умноженной на корень из двух. Это значит, что NC= √(3) * √(2) = √(6).
Далее по теореме синусов: NC/sin(NAC) = 2R, где R - это тот самый радиус, который надо найти Всё остальное нам известно. sin(60) = 0.5*√(3); NC = √(6).
Итак, 2R = √6/(0.5*√(3)) = (√2)/0,5 = 2 * √2.
А это значит, что сам радиус в два раза меньше, то есть просто √2.
Ответ: площадь трапеции ANKC = 3, радиус описанной окружности равен √2.
** ** **
Напоминаю, что в уходящем году вышла моя книга "Миллионы вариаций шашек", ее можно приобрести на сайте издательства по адресу:
** ** **
А на этом пока всё, всем пока, и до новых встреч!