Привет, математики! Что такое логарифмы? Знали бы вы, сколько раз мы слышали подобные вопросы от 11-классников. И знаете что? Нам становилось их жаль, ведь ребята теряют несколько баллов, просто из-за того, что не потратили 20 минут на изучение этой темы. Ну ничего, сейчас мы это исправим. Вперёд!
1. Что такое логарифм и с чем его едят?
Конечно, мы знаем как решать уравнения вида
Но в более сложные примерых возникает вопрос: как выразить x ? Вот тут математики и вводят понятие логарифмов.
Логарифм по основанию a от b - это число c , которое показывает, в какую степень нам надо возвести a , чтобы получить b .
Но не всё так просто, ведь на основание и аргумент накладываются ограничения:
Запишем определение в более формальном стиле:
Супер! Теперь подставим вместо c из правого выражения левое. Получим
Последнее равенство принято называть основным логарифмическим
тождеством.
2. Основные свойства логарифмов:
Перед тем, как пойти дальше предлагаем решить несколько простых примеров на понимание определения логарифма.
Если у вас не получилось, не расстраивайтесь, просто вернитесь к материалу через некоторое время.
Найдите значения выражений:
Логарифмы с основанием 10 принято называть десятичными, их обозначают как lg. Обратите внимание, что основание в данном случае известно
и указывать его не нужно. Например, lg10 = 1, lg1000 = 3 и т.д. Кроме
того, существует особый вид логарифма, который называют натуральным. У
него, как и у десятичного, основанием является предопределённое значение,
только в этом случае её является число e . Такой логарифм обозначается
как ln .
Теперь поговорим о графике логарифмической функции. Как он выглядит?
Очевидно, что так как логарифмическая функция взаимнообратна степенной, то их графики будут симметричны относительно прямой y = x .
При таком a , график функции будет монотонно возрастать.
Теперь изобразим график той же функции, но, только теперь 0 < a < 1 .
При таком a , график функции будет монотонно убывать.
Отлично, теперь закрепим изученные свойства логарифмов на практике:
Решение: По определению логарифма, исходное уравнение равносильно
Логарифмы двух выражений равны, если сами выражения равны и при
этом положительны:
На самом деле, здесь стоит упомянуть про ещё один очень важный момент, который обязательно нужно знать на экзамене. Так как логарифмическая функция при 0 < a < 1 монотонно убывает, то большему аргументу
будет соответствовать меньшее значение функции. Иными словами, в неравенствах, если в основании стоит число a, такое, что 0 < a < 1 ,то при
равносильном переходе от логарифмов к аргументам, знак следует сменить
на противоположный.
Обобщим этот факт:
С теорией на этом всё! Мы же говорили, что будет просто. Осталось лишь
закрепить полученные знания на практике
3 Практика
Решение:
Преобразуем выражение, используя основные свойства логарифма:
Переходим к пункту б.
4 Где можно закрепить знания о логарифмах?
1. Шахмейстер - "Логарифмы". Данное пособие подходит как для
закрепления теории, так и для оттачивания своих знаний на практике.
2. М.И.Шабунин - "Пособие для поступающих в вузы". Одна
из лучших книжек для тех, кто хочет безупречно сдать не только ЕГЭ, но
и вступительные испытания в ВУЗ. Так, в данном пособии вы найдёте
всю необходимую теорию по школьной математике и не только, а также
великое множество задачек различной сложности для оттачивания мастерства. Действуйте!
3. С.А.Шестаков - "Неравенства и системы неравенств". Великолепная книжка. Больше сказать про неё нечего. Решив все задачи
из неё, вы будете щёлкать все 15 номера как орешки, мы вам это гарантируем.
4. С.А.Шестаков, П.И.Захаров - "Уравнения и системы уравнений". Пособие от предыдущего автора, в соавторстве с П.И.Захаровым.
Книжка содержит в себе тонны теории и практики и что самое главное,
примеры правильного оформления. Поэтому не рекомендуем пренебрегать прочтением данной литературы. Обещаем, вы не пожалеете.
5 Домашнее задание.
6 Заключение
На этом всё, друзья. Рекомендуем также прочитать наши другие статьи, ко
торые будут не менее полезны. Кроме того, всупайте в наши сообщества во
Вконтакте и Телеграме, чтобы всегда быть в курсе свежих новостей из мира
математики. Также, если вы хотите сдать ЕГЭ на 90+ баллов и поступить
в топовый вуз, то записывайтесь на наш курс по подготовке к экзамену. Не
упускайте возможность обеспечить себе светлое будущее. Все ссылки мы
оставим внизу