В основу определения вещественного образования природы – кристалла минералов, советский минералог академик Н. В. Белов [1] положил структурный признак строения кристалла – решетчатое состояние вещества. Однако, ещё в середине XIX века видный английский математик и философ У. К. Клиффорд [2] рассмотрел проблему связи состава вещества и его структуры во всей её полноте, заявив – «не окажется ли, что все или некоторые из тех причин, которые мы называем физическими, своё начало ведут от геометрического строения нашего пространства». К такому выводу У. К. Клиффорда привело исследование в области Римановой геометрии и её связи с геометрическим аппаратом науки, которая два последних тысячелетия использовала в качестве базовой модели физических процессов и явлений природы – евклидову геометрию. Именно начиная с этого момента, в физической науке возникло и стало успешно развиваться геометрическое начало, как основа строения вещества, которое до этого рассматривалось только в качестве описательного инструмента. Основные элементы такого описания пространства и роли его искривления, впоследствии также легли в основу принципа общей теории относительности А. Эйнштейна.
Cоветские, а затем и российские математики, кристаллографы и минералоги сыграли важное значение в развитии вышеуказанного направления У.К. Клиффорда в области математики и кристаллографии.
В работах выдающегося советского геометра Б.Н. Делоне и его научной школы [3, 4], в качестве начальных посылок использовалась аксиоматическая система, определяющая специфику структуры кристалла и его основных свойств. Система аксиом, в которой определялась не только абстрактно-логические, геометрические признаки, но и, например, правильность огранения, ограниченность и т. п. То есть то, что, казалось бы, связано с чисто физико-химическими свойствами кристалла и среды его образования. Завершающим штрихом в развитии данного направления и одним из его ярких и значительных результатов явилась книга Р. В. Галиулина «Кристаллографическая геометрия» [4].
Несмотря на несомненную сложность и серьёзность изложенного материала, суть данного вопроса весьма проста – если хотите изучать кристаллы и минералы, действуйте, но при одном условии. Согласно, принципу аксиоматического рассмотрения, для физико-химических и структурных особенностей кристалла минерала природного или синтетического происхождения, будьте добры осуществлять ваши построения (моделирование) в пространстве кристаллографической геометрии. Не в Евклидовом пространстве (E^3), не в пространстве Лобачевского (L^3) и не в cферическом пространстве (S^3) или другом математическом пространстве, а в пространстве кристаллографической геометрии. В совершенно особом и своеобразном геометрическом пространстве, что ещё раз подтверждает вывод Ф. Энгельса – «каждому уровню организации материи соответствует свой уровень организации пространства» [5]. И эта новость обрадовала далеко не всех. Хотя, нашлись и те, кто рискнул попробовать построить модели в этом пространстве.
Стремление отразить свойство ограниченности реального кристалла привело к моделированию Федоровских кристаллографических групп (структурного аппарата кристаллографии) в эллиптическом пространстве Римана V^4 [7, 8]. Это пространство имеет уникальные свойства – замкнутости и ограниченности. Оказалось, что в этом пространстве существуют совершенно особые, удивительные геометрические образы, поверхности Клиффорда S^2, на которых реализуется, евклидова геометрия. Нонсенс – в ограниченном и замкнутом пространстве существуют бесконечно протяженные неограниченные геометрические образы. Но именно на поверхностях Клиффорда S^2 законным образом присутствуют (локально реализуются) решетчатые системы. Помните, что сказал Н.В. Белов – «кристалл есть решетчатое состояние вещества». Далее оказалось, что эллиптическое пространство Римана V^4 допускает одновременное сосуществование двух различных геометрий Римана и Евклида, образуя то, что впоследствии было названо пространством интерпретации (обозначено, как RE) в работе Руднева С.В. [7] и его научной школы. И эта модельная геометрическая система является одной из возможных реализаций модели кристаллографической геометрии Р. В. Галиулина.
Осуществив в работах [7, 8] моделирование решетчатых систем кристаллических структур в пространстве интерпретации Re (рис. 1, рис. 2)
была подтверждена адекватность модели полученных точечных систем в пространстве интерпретации и реальных кристаллов, а именно в контексте таких важных кристаллографических свойств реальных кристаллических структур как: решетчатость, зональность, замкнутость, ограниченность и т.п. Это в дальнейшем позволило перейти к моделированию в этой модели реальных кристаллических структур: неорганических минералов, оксидов, керамики и композитов и др.
Работа выполнялась в рамках научно-исследовательского проекта Е.01/2024 Томского государственного педагогического университета.
Литература
1. Белов Н.В. Очерки по структурной кристаллографии и федоровским группам симметрии. – М.: Наука, 1986 – 280 с.
2. Клиффорд У. К. Здравый смысл точных наук. – М.: URSS, 2015. – 221 с.
3. Делоне Б.Н., Подуров Н., Александров А. Математические основы структурного анализа кристаллов – М.: Гостехиздат, 1934. – 328 с.
4. Делоне Б.Н., Долбилин Н. П., Штогрин М.И., Галиулин Р.В. Локальный критерий правильности системы точек // Докл. Академии наук СССР, серия Математическая, 1976. Т.227. № 1. – С. 19–21.
5. Галиулин Р.В. Кристаллографическая геометрия – М.: Либроком, 2009. – 136 с.
6. Энгельс Ф. Диалектика природы. – М.: Прогресс, 1982. — 403 с.
7. Rudnev S.V. Application of elliptic Riemannian geometry to problems crystallography // Computers and mathematics with applications. 1988. V. 16, N. 5-8, P. 597-616.
8. Семухин Б.С., Руднев С.В., Галиулин Р.В. Применение аппарата римановой геометрии к структурам нано- и макрокристаллов // Кристаллография. 2008. Т. 53, № 4. С. 541-544.