Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий элемент получается путем прибавления постоянной величины (разности) к предыдущему. Эта величина называется шагом прогрессии и обозначается d. Арифметическая прогрессия является одной из основополагающих понятий в математике, и она имеет широкое применение в разных областях, от физики до экономики.
Определение арифметической прогрессии
Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел вида:
где каждый член прогрессии можно выразить через первый элемент a1 и шаг d следующим образом:
Здесь:
a1 — первый элемент прогрессии,
d — шаг (разность) прогрессии,
n — номер члена прогрессии.
Например, если первый элемент прогрессии a1 = 2, а шаг d = 3, то прогрессия будет выглядеть так: 2, 5, 8, 11, 14...
Как построить арифметическую прогрессию?
Для построения арифметической прогрессии необходимо задать два параметра: первый элемент a1 и шаг прогрессии d. Зная эти значения, можно вычислить любые члены прогрессии с помощью формулы:
Например, если первый элемент прогрессии a1 = 3 и шаг d=2, то первые пять членов прогрессии будут:
a1 = 3
a2 = 3 + 2 = 5
a3 = 5 + 2 = 7
a4 = 7 + 2 = 9
a5 = 9 + 2 = 11
Таким образом, прогрессия будет: 3, 5, 7, 9, 11...
Если вы хотите быстро и точно вычислить любой член прогрессии, сумму членов прогрессии или шаг, рекомендуем использовать калькулятор арифметической прогрессии. Этот инструмент позволяет строить арифметические прогрессии с любыми типами чисел — целыми, дробными, положительными или отрицательными. Вы сможете легко вычислить любой член прогрессии, сумму, а также найти разность прогрессии. Калькулятор удобен и прост в использовании, и на странице с ним представлен теоретический материал, который поможет лучше понять все аспекты арифметической прогрессии.
При использовании калькулятора для построения арифметической прогрессии не обязательно знать именно первый известный член, достаточно указать любой известный член прогрессии, его номер и шаг.
Как вычислить любой член прогрессии?
Для вычисления значения любого члена арифметической прогрессии используйте формулу:
где:
an — это искомый член прогрессии (номер n),
am — известный член прогрессии (номер n),
d— разность (шаг) арифметической прогрессии,
m — номер известного члена,
n — номер члена, который нужно найти.
Пример:
Пусть у нас есть арифметическая прогрессия, и нам известны следующие данные:
a5 = 20 — пятый член прогрессии,
m = 5,
n = 8 — нужно найти восьмой член прогрессии,
d = 3 — шаг прогрессии.
Подставляем в формулу:
a8 = a5 - (5 - 8) ⋅ 3
a8 = 20 - (-3) ⋅ 3
a8 = 20 + 9 = 29
Ответ: a8 = 29.
Как вычислить сумму членов арифметической прогрессии?
Сумма первых n членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:
где Sn — сумма первых n членов, a1 — первый элемент, а an — последний элемент, который можно найти по формуле:
Например, если a1 = 2, d = 3 и нужно найти сумму первых 5 членов прогрессии, то сначала находим 5-й член:
a5 = 2 + (5 - 1) ⋅ 3 = 2 + 12 = 14
Теперь применяем формулу для суммы:
S5 = (5 : 2) ⋅ (2 + 14) = (5 : 2) ⋅ 16 = 40
Таким образом, сумма первых 5 членов прогрессии равна 40.
Как вычислить шаг (разность) прогрессии?
Если известны два соседних элемента прогрессии an и a(n+1), то шаг прогрессии d можно найти как разницу этих элементов:
Например, если a5 = 11 и a6 = 14, то шаг прогрессии:
d = 14 - 11 = 3
Таким образом, шаг прогрессии равен 3.
Для вычисления шага (разности) арифметической прогрессии, если известны любые два члена прогрессии, можно воспользоваться формулой:
где:
am — известный член арифметической прогрессии с номером m,
an — известный член арифметической прогрессии с номером n,
m и n — номера этих членов прогрессии.
Пример 1
Пусть у нас есть арифметическая прогрессия, и известны следующие данные:
a5 = 20 — пятый член прогрессии,
a2 = 8 — второй член прогрессии,
Необходимо найти разность d.
Подставим в формулу:
d = (a5 - a2) : (5 - 2) = (20 - 8) : 3 = 12 : 3 = 4
Ответ: разность прогрессии d = 4.
Пример 2:
Пусть у нас есть арифметическая прогрессия с такими данными:
a8 = 50 — восьмой член прогрессии,
a3 = 20 — третий член прогрессии,
Необходимо найти разность d.
Подставим в формулу:
d = (a8 - a3) : (8 - 3) = (50 - 20) : 5 = 30 : 5 = 6
Ответ: разность прогрессии d = 6.
Таким образом, зная два члена прогрессии, можно легко вычислить разность между ними с помощью предложенной формулы.
Спасибо за прочтение! Подписывайтесь, делитесь своим мнением в комментариях и не забудьте поставить лайк, если вам понравилась наша статья и калькуляторы.