Эту задачу мне прислали в виде чертежа с краткой записью условия. Ни точного текста, ни класса, которому была предложена задача, пока не знаю.
1. В трапеции ABCD стороны AB, BC и CD равны, точка N делит диагональ BD пополам, CH — высота. Докажите, что прямая HN перпендикулярна диагонали AC.
Решение. Сделаем чертёж. Пусть O — точка пересечения диагоналей, K — точка пересечения прямой HN и диагонали AC. Медиана CN в равнобедренном треугольнике BCD является высотой, угол CND прямой.
Так как треугольники ABC и BCD равнобедренные, то их углы при основаниях AC и BD равны, а с учётом свойства накрест лежащих углов, эти углы равны половинам равных углов A и D равнобедренной трапеции. Обозначим их величины α, а величины вертикальных углов KNO и DNH — β. Тогда углы A и D при основании трапеции равны 2α.
По свойству внешнего угла для треугольника AOD угол KON равен 2α. Нам осталось доказать, что 2α + β = 90°, тогда прямая HN будет перпендикулярна диагонали AC.
Проведём окружность с диаметром CD. Вершины прямых углов прямоугольных треугольников CHD и CND лежат на этой окружности. Тогда вписанные углы DCH и DNH равны β.
А так как в прямоугольном треугольнике CHD сумма острых углов составляет 90°, то равенство 2α + β = 90° доказано, следовательно, прямая HN перпендикулярна диагонали AC, что и требовалось доказать.