НОД (Наибольший общий делитель) и НОК (Наименьшее общее кратное) — это два фундаментальных понятия в теории чисел, которые используются для работы с целыми числами.
Эти термины играют ключевую роль в решении различных задач в математике, таких как упрощение дробей, решение диофантовых уравнений (алгебраических уравнений с целыми коэффициентами), нахождение общего знаменателя дробей и так далее.
НОД (Наибольший общий делитель)
НОД двух чисел — это наибольшее число, которое делит оба этих числа без остатка. Проще говоря, НОД — это наибольшее целое число, которое одновременно является делителем двух данных чисел.
Пример, для чисел 18 и 24 НОД равен 6, поскольку 6 — это наибольшее число, которое делит оба числа.
НОД можно найти различными способами, например, с помощью разложения чисел на простые множители или используя алгоритм Евклида.
НОД при помощи разложения чисел на простые множители
Давайте на примере разберем нахождение НОД чисел 18 и 24.
Сначала разложим числа на простые множители.
Разложим число 18 на простые множители и выделим их жирным шрифтом. Начинаем подбирать делитель из простых чисел, начиная с самого маленького простого числа 2, до тех пор, пока частное не окажется простым числом
18 : 2 = 9 - делится на простое число 2
9 : 3 = 3 - делится на простое число 3.
Завершаем деление, так как 3 простое число
Разложим число 24 на простые множители и выделим их жирным шрифтом. Начинаем подбирать делитель из простых чисел, начиная с самого маленького простого числа 2, до тех пор, пока частное не окажется простым числом
24 : 2 = 12 - делится на простое число 2
12 : 2 = 6 - делится на простое число 2
6 : 2 = 3 - делится на простое число 2.
Завершаем деление, так как 3 простое число
Теперь выделим жирным шрифтом и выпишем общие множители
18 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3
24 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3
Общие множители чисел (18, 24) будут числа 2 и 3
Чтобы найти НОД нужно перемножить общие множители
Ответ: НОД (18, 24) = 2 ∙ 3 = 6
Найти НОД для двух, трех и четырех чисел и получить подробное решение, как было описано выше вы можете, воспользовавшись калькулятором НОД и НОК.
Алгоритм Евклида для нахождения НОД заключается в последовательном делении большего числа на меньшее и замене большего числа на остаток от деления. Процесс продолжается, пока остаток не станет равным нулю — в этот момент наибольшее общее деление будет найдено. Также по алгоритму Евклида НОД можно вычислить при помощи вычитания. Вычислить НОД и подробнее узнать об алгоритме можно на калькуляторе НОД и НОК по алгоритму Евклида.
НОК (Наименьшее общее кратное)
НОК двух чисел — это наименьшее число, которое делится на оба данных числа. Это наименьшее целое число, которое одновременно является кратным обоих чисел.
Пример, для чисел 18 и 24 НОК равен 72, поскольку 72 — это наименьшее число, которое делится как на 18, так и на 24.
Для нахождения НОК можно использовать формулу, которая связывает НОД и НОК:
НОК(a, b) = (a ∙ b) : НОД(a, b)
Отличия между НОД и НОК
1. НОД — это наибольшее число, которое делит оба числа, а НОК — наименьшее число, которое делится на оба числа.
2. НОД всегда меньше или равен каждому из чисел, тогда как НОК всегда больше или равен каждому из чисел.
3. НОД помогает упростить дроби, а НОК — найти общий знаменатель для дробей или общее кратное.
Спасибо за прочтение! Подписывайтесь, делитесь своим мнением в комментариях и не забудьте поставить лайк, если вам понравилась наша статья и калькуляторы.