В вопросе, разумеется, подвох. Наверняка большинство пишущих/читающих никогда не задумывались над этим вопросом и писали по правилу, если правило знают, или интуитивно.
Давайте проверим, насколько интуиция соответствует словарным нормам.
Орфографический словарь
Орфографический академический ресурс «АКАДЕМОС» фиксирует устойчивый оборот:
незави́сящий*; по незави́сящим от кого-н. обстоятельствам, причинам
Например (примеры здесь и далее из НКРЯ):
Наш экран, к сожалению, по независящим от нас причинам не напечатан. [Почтовый ящик (09.09.1916) // газета «Ростовская брачная газета», 1916]
Бунина открыл для себя лишь в сорок лет, по независящим от меня причинам; сейчас вот кумир мой — Достоевский, начинаю серьезней вчитываться в Гоголя, Льва Толстого. [Виктор Астафьев. Зрячий посох (1978-1982)]
Звёздочка означает, что при других условиях возможно и иное написание (не)зависящий.
Другие условия подразумевают, что вне устойчивого оборота не с причастием зависящий будет писать раздельно, если у него есть зависимое слово или противопоставление, например:
Он говорил, что если и сделал зло ей и ее матери, то это было невольное зло, не зависевшее от него, теперь же он является только посланником, и Фатьма, разумеется, может действовать по своей воле. [М. Н. Волконский. Забытые хоромы (1910)]
Толкование устойчивого оборота
Что же означает это выражение?
"Словарь русских синонимов и сходных по смыслу выражений» Н. Абрамова (1994) приводит синонимы:
по независящим обстоятельствам, по необходимости см. невольно
Чисто интуитивно такой синоним кажется неточным.
Пытаюсь объяснить, что я прилёг с приступом по независящим от меня причинам. [Игорь Сахновский. Острое чувство субботы. Восемь историй от первого лица (2012)]
Разве тот же смысл окажется у выражений:
Пытаюсь объяснить, что я прилёг с приступом по необходимости
или
Пытаюсь объяснить, что я прилёг с приступом невольно?
Сомневаюсь.
«Толковый словарь русского языка» под редакцией Д.Н. Ушакова дает более точное толкование:
По независящим (от кого-чего) обстоятельствам (офиц.) — по посторонним причинам. По независящим от редакции обстоятельствам (по требованию цензуры; дорев. эвф. спец.).
Это, оказывается, еще и эвфемизм! Эвфемизм, то есть нейтральное слово или выражение, которым заменяют грубую или неуместную лексику. Эвфемизмы помогают сгладить резкие фразы так, чтобы было всё понятно, но не слишком обидно, например:
Передавать ее еще и потому нельзя, что в печати, по независящим обстоятельствам, невозможно касаться некоторых (и важнейших) аргументов, на которые она опирается. [Н. Г. Шебуев. Негативы Ясная Поляна (1905)]
По независящим от авторов причинам издание альманаха откладывается. [Наталья Кузина. Между Западом и Востоком: Cудьба России — от идей восточничества к «скифству» и евразийству // «Культурологический журнал», 2016]
Но, как показывают примеры, это выражение не вышло из употребления. Более того, широко употребляется если не в официальной, то уж точно в книжной речи.
Немного истории
Пожалуй, впервые этот оборот был зафиксирован еще во фразеологическом словаре М. И. Михельсона «Русская мысль и речь: свое и чужое: опыт русской фразеологии», вышедшем в 1902-1903 г.:
по независящимъ (отъ кого) обстоятельствамъ (иноск.) вынужденно
Ниже приводит сравнение с force majeure.
Узнали?
Это «непреодолимая сила» или, говоря юридическим языком, «обстоятельства непреодолимой силы». Не исключено, что наш устойчивый оборот является слегка видоизмененной калькой с французского, а толкование М. И.Михельсона точнее других.
Посмотрим примеры:
Но нужно ли доказывать, что женщина, частью и по натуре своей, частью и по независящим от нее обстоятельствам, лишена этого утешения?.. [В. Н. Майков. Cтихотворения Юлии Жадовской (1846)]
На обверткѣ, (коею Кіевъ перещеголялъ Москву) сказано: «все сочиненіе уже приготовлено къ печати, но, по независящимъ отъ автора обстоятельствамъ, будетъ выходить въ свѣтъ выпусками.» [М. Погодинъ. О состояніи женщинъ въ Россіи до Петра Великаго, историческое изслѣдованіе Виталія Шульгина // «Москвитянинъ», 1850]
Не называю собственными именами купца и мѣсто потому, что не можно навѣрно, а моей записной книжкѣ, по независящимъ отъ меня обстоятельствамъ, у меня подъ рукой нѣтъ; но мнѣ кажется, что этотъ фактъ заслуживаетъ быть извѣстнымъ. [П. И. Якушкин. Из Астраханской губернии (1870)]
Резюме
Итак, устойчивый оборот «по независящим от кого-н. обстоятельствам, причинам» упротребляется
1) преимущественно в книжной речи;
2) в значении «вынужденно»;
3) а слово «независящий» в пределах устойчивого оборота пишется слитно.
В остальных случаях причастие «зависящий» имеет то же значение, что и глагол, от которого оно образовано:
зависеть — 1) быть связанным в своих действиях, мыслях и т.п. чужой волей, влиянием; иметь нужду в чьей-л. помощи, содействии; 2) быть следствием чего-л., быть обусловленным какими-л. причинами, обстоятельствами и т.п.
А «не» с причастием «зависящий» пишется по общему правилу написания «не» с причастиями: с полными формами причастий отрицание не пишется раздельно, если при них имеются зависимые слова или если употребляется в составе конструкций с противопоставлением, например:
Но ты был несчастлив, и я пожертвовала собою, надеясь, что когда-нибудь ты оценишь мою жертву, что когда-нибудь ты поймешь мою глубокую нежность, не зависящую ни от каких условий. [М. Ю. Лермонтов. Герой нашего времени (1839-1841)]
Въ каждомъ языкѣ есть свои неуловимыя, таинственныя особенности, нисколько не зависящія отъ грамматики, синтаксиса и такъ далѣе. [А. В. Дружинин. Письма иногороднего подписчика о русской журналистике (1854)]
Новые события и обстоятельства, не зависящие от воли Соединенных Штатов, могут потребовать более энергичного образа действий. [Америка требует (14.05.1915) // «Московская копейка», 1915]
В университете нужно получить тот минимум знаний и опыта, котрые позволят строить свою собственную, не зависящую от других жизнь. [Форум: Школа или универ где легче?)) (2006)]
Пройти небольшой тест и проверить себя можно по ссылке