«На билете написана цифра 12», «Мой сын знает все числа», «Игра содержит карточки с цифрами от 1 до 20». От каждой из этих фраз мое сердце учителя математики каждый раз обливается кровью, поэтому статьи на этом канале я решила начать именно с этого вопроса - что такое число, что такое цифра, с чем их едят и разные ли это понятия. На последний вопрос хочется ответить незамедлительно - совершенно разные.
Давайте представим себя на минуту первобытными людьми (а современные археологические раскопки позволяют нам фантазировать с некоторой долей достоверности). На последней охоте нам удалось поймать 5 животных. Мы знаем их количество, их число. И хотим этот факт запомнить, сохранить, для этого нам нужно записать число. И мы высекаем на камне одинаковые вертикальные черточки - по одной на каждое убитое животное. Знаем ли мы числа? Безусловно. Мы понимаем, каждый предмет имеет свою количественную характеристику, мы можем сравнивать количество предметов. Есть ли у нас цифры? Да, но всего одна. Ведь цифра - это символ, используемый для записи числа, другими словами, закорючка, которую мы в данный момент решили выбрать для записи количества предметов - числа. И цифра у таких первобытных людей, как мы, была действительно одна - это та самая вертикальная черточка. Возвращаясь к одной из цитат, с которой мы начали наш разговор, 12 (как и 10, 11, 147) ни в коем случае нельзя назвать цифрой. Это число, для записи которого в нашей цивилизации используется два значка - один из них напоминает вертикальную черточку, а другой - лебедя. То есть перед нами число, состоящее из двух цифр.
Классический вопрос, часто вводящий людей в ступор: «А 5 - это число или цифра?». Чтобы ответить на этот вопрос, сначала обратимся к другому, пожалуй, более простому: «Я» - это буква или слово? Любой ответит вам, что это и то, и другое. Нам не повезло (или наоборот, это как посмотреть), буквы в современном русском языке называются почти всегда аналогично тому, как они читаются. С цифрами та же история. С одной стороны, 5 - это натуральное число, определяющее количество предметов. С другой стороны, именно словом «пять» называется символ, используемый для записи этого числа. И тут может возникать некоторая двусмысленность, но связана она скорее с особенностями языка, чем с математикой.
Сколько же нужно цифр, чтобы записать все числа? Вспомним снова первобытных людей. Кажется, что достаточно одной. Почему же этот способ записи чисел мы не используем по сей день? Чем привычный нам способ записи чисел лучше первобытного? И какие ещё цифры нам встречаются в повседневной жизни? Все эти вопросы интересно и продуктивно можно обсудить и с детьми.
С понятиями числа и цифры связано также ещё одно пугающее словосочетание - система счисления - на самом деле, просто способ записи чисел с помощью знаков (цифр), свод правил, по которым эта запись происходит. Привычный нам способ записи чисел называется десятичной системой счисления. Для записи цифр мы используем всего 10 значков - цифр, которые принято называть арабскими. На самом деле, используемые нами цифры были изобретены в Индии примерно в 595 году, но достаточно быстро распространились, и в Европу пришли уже из арабских стран. Поэтому название «арабские цифры» - по большому счету, историческая несправедливость, честнее бы было называть наши привычные цифры индийскими. Очень любопытно, что арабские цифры в России вошли в обиход только при Пётре I, до этого в ходу была другая система счисления, где в качестве цифр использовались некоторые буквы древнерусского алфавита.
Кроме уже упомянутых, историки математики сохранили знания о многих других интереснейших системах счисления - тех, что использовали в древнем Китае и древнем Египте, мы знаем, как записывали числа вавилоняне и индейцы майя. О части из этих систем счисления мы обязательно поговорим отдельно, в новых статьях.
Пожалуй, одна из самых завораживающих идей в математике - это невозможность говорить об изобретениях. Мы никогда не сможем сказать, кто изобрел понятие числа, и не потому, что это произошло очень давно, а потому что этого момента не существовало. Числа в мире существовали всегда, но каждая цивилизация сама постепенно подошла к осознанию факта их существования. Поэтому появление чисел - это не изобретение, скорее открытие, осознание. Как закон всемирного тяготения. Он существовал задолго до того, как Ньютон его сформулировал. С цифрами же ситуация несколько иная. В отличие от абстрактного понятия числа, их, как и любые другие знаки, может придумать каждый человек.
Для занятий с детьми я хотела бы предложить вам стихотворение, написанное мной несколько лет назад как раз для такого занятия. Его особенность в том, что текст содержит очень много чисел. И играть с ним можно совсем по-разному, в зависимости от возраста детей. Простой вариант - прочитать стихотворение (или послушать, как его читает старший) и записать все встречающиеся в тексте числа цифрами. Интересно обсудить, сколько чисел встретилось в стихотворении. А сколько цифр потребовалось, чтобы записать все из них?
Вариант посложнее - записать числа из стихотворения, используя не арабские, а римские или древнеегипетские цифры (подсказки - на картинках).
Вариант ещё сложнее, самый интересный - придумать свои цифры и систему счисления (правила записи чисел). Записать все встречающиеся числа, придумать примеры, в которых цифры записаны вашим новым способом, заставить маму (папу, сестренку, родных и соседей) решить эти примеры, поставить им за это оценки...
Итак, стихотворение:
В очень дальней град-столице,
Где царь правит, не царица,
Корабли как приплывают,
Всегда ярмарки бывают.
Шум толпы и звон монет.
И чего здесь только нет!
Шесть из Персии ковров,
Два десятка жемчугов,
Семь тарелок расписных,
Три бокала золотых.
Перстень светится огнем
- Двадцать три алмаза в нем!
Девять навесных замков,
Двадцать восемь сундуков,
Привезли нам из Китая
Пять вкуснейших видов чая,
А еще из Бухары
Десять бус из бирюзы.
Девятнадцать утюгов,
Восемь глиняных котлов,
Тридцать вышитых картин,
А купец всего один!
А для взрослых, которые очень внимательно читали мои заметки, у меня тоже есть маленькое задание. В тексте прозвучал вопрос, на который я сознательно ответила не совсем верно, допустила небольшую, но принципиальную неточность.
Что это был за вопрос? И где я слукавила?
Об этом мы поговорим обязательно в новых статьях.
А еще больше интересного вас ждет в нашем телеграмм-канале "Математика на бегу".