Постоянно сталкиваясь с геометрией, мы не придаем определению этого термина большого значения. В школе учителя поясняют нам, что геометрия, в переводе с древнегреческого означает простую вещь – измерение (землемерие). Начиная от восторженного восхищения прекрасными геометрическими формами, созерцанием гармоний небесных сфер и заканчивая негодованием по поводу «этих греков вместе с их геометрией», всё это «землемерие».
Став постарше, мы сталкиваемся с именами Евклида, Николая Лобачевского, Яноша Больяи и Бернгарда Римана. И оказывается, что многое в нашей жизни зависит от греков и их геометрии, а то и начинается с них. Начиная от бесконечно далёких глубин Космоса и не заканчиваясь в глубинах атома с протонами-электронами и p-мезонов с нейтрино. А также на просторах логики и абстрактного мышления. Начнём и мы, но не из бесконечно далёких глубин Мира, а (как говорят геологи) с «дневной поверхности» нашей Голубой планеты.
Но первая сложность, с которой мы сталкиваемся, наблюдая наш окружающий мир, состоит в том, что Мир человека замкнут. Замкнут в самом прямом смысле. Не может человек, находясь в своём естественном состоянии, без различных хитроумных приспособлений, ни выйти в Космос за пределы земной атмосферы, ни погрузится в глубины атома. Исключая мысленные проникновения «туда» в невообразимую даль Туманности Андромеды и «туда», в невообразимую малость микромира. По каким-то своим собственным замыслам, Природа не дала такую возможность человеку. Кроме как мысленной. И человек нашёл в себе смелость силою мысли всё-таки проникнуть и в атом, и за Туманность Андромеды. Но для этого ему понадобилась то, что было, есть и всегда будет называться Геометрией. То есть «землемерием».
Геометрия – не простая наука. И сложность её обусловлена не только количеством или качеством материала, с которым ей приходится иметь дело (как другим наукам), а высшим уровнем абстрагирования и высшим уровнем общности всех её понятий. Ещё бы! Ведь основой всех понятий геометрии является само Пространство. А Пространство есть протяженность Материи. Значит, пояснить, что такое Пространство, мы можем только через понятие Материи. Согласно определению, И. Канта [1], пространство есть ещё и форма, и способ восприятия человеком окружающего мира. Ф. Энгельс [2], рассуждая о Пространстве, пришёл к выводу, что каждому уровню организации материи соответствует свой уровень организации пространства. Согласно В.И. Вернадскому [3], под уровнем организацией пространства нам следует понимать Геометрию. Итак, поясняя что такое Геометрия, нам нужно обращаться к понятиям философского уровня общности. То есть к материи и пространству. Прямо скажем, задача не из простых. В то же время, обращаясь к истории науки, мы видим, что математики и естествоиспытатели прошлого смело обращались к геометрическим вопросам. А ведь их объём знания о пространстве несомненно был значительно меньше нашего.
И всё же они сумели разработать такие геометрические схемы, что даже спустя тысячелетия мы с успехом используем их и даже опираемся на них. К наиболее значимым достижениям геометрической мысли, видимо, следует отнести и положение, введённое Ф. Энгельсом [2] – каждому уровню организации материи соответствует свой уровень организации пространства. И, значит, следуя В. И. Вернадскому, [3], – каждому конкретному уровню организации материи соответствует свой вид геометрического обустройства того сектора пространства, в котором и существует материальный объект обладающий особой, только ему присущей, материальной идентичностью. И это значит, что атом и молекула, живая клетка и живой организм, планета и звезда, планетарная система «живут» в своём собственном, по-своему организованном пространстве! Например, клетка живёт в биологическом пространстве, планета – в геологическом, звезда – в звёздном (не в космосе!), и только уже Космос даёт приют звёздным системам. А как быть с кристаллами? Геологи и минералоги отлично знают, что не бывает кристаллов «атомного» размера. Нет и громадных кристаллов даже в самых удобных геологических местах для роста великанов минералогического облика. Кристаллы занимают размерную «нишу» в диапазоне от молекулы до каких-то усреднённых размеров структур горных пород. В точности как молекула и клетка составляющих объём биологического органа. Структура кристалла сложна и многообразна. Однако структура кристалла может быть описана современным мощным, великолепно разработанным математическим аппаратом.
Внутреннее и внешнее строение кристалла подчиняется теоремам теорией симметрии, в которой, пожалуй, есть всё, кроме одного. По сию пору наука не ответила на, казалось бы, простой вопрос — что за геометрия господствует внутри кристалла и руководит построением его великолепных внешних форм?
И книга Р.В. Галиулина [4] задала направление поиска такой геометрии. Ответ до удивления прост — внутренней геометрией кристаллов минералов является кристаллографическая геометрия! Хотите ответить на вопрос о геометрии кристалла и, затем, решить физическую (химическую) проблему- будьте добры рассматривать кристаллографию таким образом, чтобы появилась возможность ввести аксиомы учитывающие реальные соотношения реальных кристаллов. И четыре группы таких утверждений Р. В. Галиулин ввёл сам. Это группа аксиом – дискретности, покрытия, локального равенства и рациональности.
Все основные понятия кристаллографии (решетка, голоэдрия, сингония и т.д.) получают строгие определения, а основные положения представлены в виде теорем. Ответом на вопрос о применимости неевклидовых моделей для кристаллического пространства [5] является дальнейшим развитием кристаллографической геометрии и ее аппарата для исследования реального пространства.
Работа выполнялась в рамках научно-исследовательского проекта Е.01/2024 Томского государственного педагогического университета.
Литература
1. Кант И. Критика чистого разума – Минск: Литература, 1998. – 959 с.
2. Энгельс Ф. Диалектика природы. – М.: Прогресс, 1982. — 403 с.
3. Вернадский В.И. Философские мысли натуралиста – М.: Наука, 1988. – 522 с.
4. Галиулин Р.В. Кристаллографическая геометрия – М.: Либроком, 2009. – 136 с.
5. Rudnev S. V. Application of Elliptic Riemannian Geometry to Problems Crystallography // Computers and Mathematics with Applications. Vol. 16, No. 5-8, 1988, pp. 597–616.