Восемнадцатая проблема Гильберта
В 1900 году на II Международном конгрессе математиков в Париже немецкий математик Давид Гильберт представил 23 задачи, которые в дальнейшем так и назовут "Проблемы Гильберта". На тот момент никакие из этих задач не были решены, но большинство из них оказали большое влияние на математику XX века.
На данный момент решено только 16 из 23 имеющихся проблем. Ещё две не являются корректными математическими проблемами (одна сформулирована слишком расплывчато, другая, больше физическая задача, чем математическая). Из оставшихся пяти проблем две не решены никак, а три решены только для некоторых случаев.
Одной из самых известных проблем Гильберта является континуум-гипотеза, то есть первая проблема Гильберта, про которую рассказывал здесь
Сегодня нас интересует восемнадцатая проблема Гильберта, а точнее второй из трех её частей, в которой был задан вопрос о таком многограннике, копиями которого можно заполнить трёхмерное Евклидово пространство, причём никакое заполнение пространства копиями этого многогранника не должно быть изоэдральным.
Изоэдральным называют тело, у которого для любой пары граней A и B существует последовательность из отражений и поворотов, которая переводит A в B
Такие тела были найдены Карлом Райнхардомв 1928 году, но эти тела заполняют пространство периодическим образом.
Периодическое заполнение пространства - это замощение, которое переходит в себя при сдвиге на определённый вектор. Например, если строку бесконечной миллиметровки сдвинем вправо или влево на 1, то замощение не поменяется, то есть такое замощение - периодическое
Апериодичные замощения
Математикам понравилась идея заполнять, но не пространство многогранниками, а плоскость геометрическими фигурами.
В 1960-е годы логик Ван Хао рассмотрел проблему замощения плоскости квадратиками с раскрашенными ребрами: имея фиксированный набор таких квадратов (без поворотов и отражений), можно ли замостить ими плоскость так, чтобы квадраты соприкасались рёбрами одинакового цвета? Ван заметил, что если такую задачу нельзя решить с помощью алгоритма, то существует апериодический набор плиток, которые позволят решить задачу.
Апериодическое замощение — это непериодичное замощение с дополнительным свойством, что замощение не содержит бесконечно больших периодических кусков.
Апериодическим называется набор плиток, каждая из которых является многоугольником, и заданы локальные правила их соединения друг с другом. Такой набор называется апериодическим, если с его помощью можно замостить всю плоскость, и любое такое замощение апериодично.
В 1966 году Роберт Бергер доказал, что проблема Вана алгоритмически неразрешима и нашел апериодический набор плиток Вана, состоящий из 20426 плиток.
В дальнейшем были найдены апериодические наборы из меньшего числа плиток: позже Бергер сократил свой набор до 104; Ганс Лойхли впоследствии нашел апериодический набор, требующий всего 40 плиток Вана; в 1996 году Карел Чулик нашел набор из 13 плиток Вана.
Наконец, в 2015 году Э. Жанделем и М. Рао был найден набор из 11 плиток, и было доказано, что для плиток Вана это минимально возможный апериодический набор.
В 1971 году Рафаэль М. Робинсон обнаружил апериодический набор состоящий из шести плиток, отличных от плиток Вана.
В 1973 году Роджер Пенроуз открыл набор, названный плитками Пенроуза, уменьшив минимальное количество плиток, необходимых для непериодического замощения плоскости, до двух.
Появился вполне логичный вопрос: можно ли апериодически замостить плоскость, используя только один вид плитки? Это собственно и называется задачей одной плитки
Решение задачи одной плитки
У задачи достаточно долгое время не было решений. Первое решение нашел математик-любитель Дэвид Смит в 2022 году. Он обнаружил "шляпу", склеенную из восьми копий дельтоида под углами 60°–90°–120°–90°, которая, как ему казалось, могла непериодически замощать плоскость. Смит обратился за помощью к профессиональным математикам Дж. С. Майерсу, К. С. Каплану и Х. Гудман-Штрауссу, и в 2023 году они совместно опубликовали доказательство, что «шляпа» вместе с её зеркальным отражением образуют набор плиток, который замощает плоскость исключительно апериодически, что является решением задачи одной плитки
Кроме этой конкретной плитки было найдено и целое семейство подобных плиток, которые также решают задачу.
Но окончательно задачу нельзя было назвать решенной, ведь для замощения плоскости некоторые плитки требовали переворота. Если запретить переворот, то в замощении участвовали две разные плитки, являющиеся зеркальным отражением друг друга. Однако вскоре Смит с соавторами опубликовали описание ещё одной плитки, устранив этот недостаток. Их новую плитку они назвали "приведением".
Фух... Большое спасибо за прочтение статьи! Статья получилась сложной, но надеюсь очень интересной и познавательной. Если найдёте какие-то неточности или у вас появятся вопросы, то смело спрашиваете в комментариях, обсудим вместе!
Больше интересного контента каждый день в телеграм канале "Сложно-простая математика".
Подписывайтесь, не забывайте ставить лайки и писать комментарии. Надеюсь, что мы не прощаемся :-3!