Всем привет, меня зовут Андрей, это снова я.
Есть один интересный канал на просторах дзен, его ведет Валерий Казаков. Канал называется "Наглядная геометрия". Мне этот канал очень нравится, но часто бывает так, что автор канала решает задачи не самым простым способом. Я иногда оставляю свои комментарии на этом канале, но с сегодняшнего дня мне захотелось самому решать задачи, которые представлены на том канале.
Надеюсь, что Валерий Казаков будет не против, я же во-первых, не говорю о том, что я автор этих задач и называю имя автора, и во-вторых, предлагаю не то решение, которое есть на этом канале, а свое собственное решение.
Например, сегодня там была очень интересная задача:
Итак, что дано в задаче: ABCD - это квадрат, в него вписан полукруг. Касательная BF пересекает полукруг в точке K. Найти площадь квадрата, если известно, что DF равно 4.
Конечно, есть еще точка M - это точка пересечения CD и BF. Но, если говорить честно, эта точка для решения задачи не понадобится, от слова "совсем". Конечно, треугольники BCM, ABF и DMF подобны, но... решение этим путем будет не самым быстрым и не самым простым.
А теперь решим задачу. Первым делом проведем отрезок OK.
Теперь у нас есть два треугольника: ABF и OKF. Они оба прямоугольные (напомню, что радиус всегда перпендикулярен касательной, это значит, что OK перпендикулярно BF), и они подобны, потому что каждый из них содержит прямой угол, а также угол AFB, он же - угол OFK. Это один и тот же угол.
Найдем коэффициент подобия. В треугольнике ABF против угла F находится катет AB, поскольку ABCD - это квадрат, что это значит, что AB=AD, то есть катет AB равен 2R - где R - радиус полукруга. А в треугольнике OKF против того же угла F лежит катет OK, и он равен R - это же еще один радиус полукруга. А это значит, что коэффициент подобия треугольников равен 2R/R=2.
Если в треугольнике ABF один катет равен 2R, второй катет равен 2R+4, то это значит, что в треугольнике OKF один катет равен R, а второй катет равен (2R+4)/2=R+2. А гипотенуза OF в этом же треугольнике равна R+4. Остается по теореме Пифагора найти R.
По теореме Виета: корни уравнения -2 и 6. Но -2 нас не интересует, радиус не может быть отрицательным. Это значит, что радиус равен шести.
А в задаче спрашивалось про площадь квадрата. Поскольку два радиуса - это сторона квадрата, то сторона квадрата равна 12 (12=2*6).
А площадь квадрата - это 12*12, то есть 144.
Ответ: 144.
А на этом пока всё, всем пока, и до новых встреч!