Элина Агамян родилась 28 ноября 1950 года. Любовь к сцене у Элины Николаевны проявилась еще в юности, поэтому сразу же после школы она поступила в театральную студию при киностудии «Арменфильм», которую окончила в 1970 году.
В период учебы Агамян параллельно играла на сцене Национального Академического театра им. Г. Сундукяна. В 1971 году вошла в труппу Государственного драматического театра драмы им. О. Абеляна в Кировакане (ныне Ванадзор). Но как ни странно, за свою кинокарьеру Агамян снялась всего в двух фильмах.
Дебютной работой Элины Николаевны на экране стал фильм Альберта Мкртчяна «Танго нашего детства», вышедший в 1984 году. Элина сыграла роль Вардуш, второй жены Рубена, которого играл Фрунзик Мкртчян. К слову, фильм был представлен на кинофестивале в Венеции.
А в 1988 году вышел телевизионный фильм-спектакль «Ричард II» по одноименной хронике Уильяма Шекспира в постановке труппы Государственного драматического театра им. О. Абеляна. В фильме, рассказывающем о низложении и убийстве короля Ричарда II, актриса Элина Агамян сыграла роль королевы.
В 2007 году Элина Агамян удостоена звания Заслуженной артистки Армении.