В математике мы встречаемся с несколькими видами переменных. Например, с переменной, которую называют «неизвестная» и обычно обозначают буквой . Она используется в уравнениях, неравенствах и их системах. Такой переменной можно придать некоторое числовое значение. Если при нём уравнение или неравенство становится верным, то это значение называется решением данного уравнения или неравенства.
Мы используем переменные, когда задаём формулой некоторую функцию. Например, . В этом случае их две: независимая переменная и зависимая переменная . Если подставить некоторое число в формулу вместо и вычислить, то получится соответствующее ему значение .
Существуют функции, которые можно задать в общем виде. Например, линейная функция . В этом уравнении целых четыре переменные! Но их смысл не одинаков. Здесь и — всё те же независимая и зависимая переменные. А вот и — это коэффициенты. Да, они тоже являются переменными, но чтобы получить какую-нибудь частную линейную функцию, необходимо придать им определённые значения. При и мы получим функцию , при работе с которой значения коэффициентов и меняться не будут.
С помощью коэффициентов мы обобщаем все возможные линейные функции одним уравнением . Если вспомнить, что графиком линейной функции является прямая, то это уравнение можно интерпретировать как семейство всех возможных прямых на плоскости в системе координат .
Теперь познакомимся с новым видом переменных — параметром.
Определение
Параметр — это заданный буквой коэффициент в уравнении или неравенстве, который может принимать некоторые числовые значения. В зависимости от определённых значений параметра могут изменяться решения уравнения или неравенства, а также их количество.
Рассмотрим линейное уравнение . В этом уравнении есть неизвестная , которую можно легко выразить как . Значит, — корень этого уравнения. Всё просто.
Вместо тройки в уравнении мы можем записать переменную, например, коэффициент , который и можно назвать параметром. Тогда получится линейное уравнение с параметром . В этом случае решения уравнения будут напрямую зависеть от значения параметра , ведь . Значит, при любом действительном значении параметра это уравнение будет иметь единственный корень .
Подобным образом мы можем превратить любое уравнение с числовыми коэффициентами в уравнение с параметром. Для этого нужно выразить через параметр один или несколько числовых коэффициентов уравнения.
При решении заданий с параметром важно понимать разницу между неизвестной и параметром. Корень уравнения – это значение неизвестной, при котором равенство выполняется. Параметр же является коэффициентом уравнения и может определённым образом влиять на числовое значение корня, а также на количество корней.
В формулировке задач с параметром как правило просят найти значения параметра, при которых уравнение имеет заданное количество корней — например, один, два или три.
Чаще всего мы будем иметь дело с уравнениями с параметром, неравенствами с параметром и их системами . Но параметр может встретиться и в формуле, задающей функцию. Например, – линейная функция с параметром . Эта формула задаёт семейство прямых на плоскости, которые проходят через точку в системе координат . Параметр при этом определяет угол наклона каждой прямой к оси – это угол, который отсчитывается от положительного направления оси к прямой против часовой стрелки.
Задачи с параметром можно решать разными способами. Выделим три основных метода:
аналитический;
графический;
функциональный.
Аналитический метод решения подразумевает использование алгебраических преобразований над уравнениями, неравенствами и их системами. То есть используются те самые преобразования, которые мы выполняем при решении обычных уравнений и неравенств. Как правило преобразования выполняются с целью выразить неизвестную через параметр, благодаря чему можно ответить на вопрос о количестве корней уравнения. Правда это не всегда просто сделать, иногда приходится искать другие пути. Например, чтобы ответить на вопрос о количестве корней квадратного уравнения, совсем необязательно находить сами корни, достаточно найти дискриминант этого квадратного уравнения. При аналитическом решении важно также не забывать про ОДЗ.
Графический метод решения основан на построении графиков уравнений, неравенств и их систем. Если в уравнении одна неизвестная и один параметр , то можно построить график этого уравнения в системе координат — это будет множество всех точек на плоскости, каждая из которых является решением этого уравнения. Тогда ответить на вопрос, при каких значениях параметра уравнение имеет нужное количество решений, не так сложно. Когда в уравнении две неизвестных, например, и , да ещё и параметр , то построить графическое решение сложнее. В таком случае графиком может быть не одна линия, а целое семейство похожих линий, движение которых по плоскости зависит от значения параметра.
В функциональном методе решения используются свойства функций, например, монотонность, чётность-нечётность, ограниченность, периодичность, симметричность и другие. Уравнение с параметром в этом случае рассматривается как функция или разбивается на несколько функций. С помощью их анализа можно ответить на вопрос о влиянии параметра на количество корней исходного уравнения.
Задания формата профильного ЕГЭ по математике обычно можно решить каждым из методов. Но важно научиться выбирать наиболее подходящий, тогда решение будет проще и не займёт много времени.