Родился 1 апреля 1921 года в селе Кесова Гора (ныне посёлок городского типа Тверской области). Окончил 7 классов и школу фабрично-заводского ученичества (ФЗУ) в городе Химки (Московская область). Учился в аэроклубе в Москве. Работал слесарем на заводе. С 1940 года в рядах Красной Армии. В мае 1941 года окончил Борисоглебскую военную авиационную школу лётчиков.
С февраля 1943 года младший лейтенант А. И. Майоров на фронтах Великой Отечественной войны в составе 425-го ИАП, летал на ЛаГГ-3. 10 апреля 1942 года направлен командиром звена во 2-й Гвардейский ИАП (попал туда в числе 10 лётчиков, переданных вместе с 12 ЛаГГ-3 при выводе 425-го ИАП в тыл), где освоил ещё Ла-5 и Ла-7. Сражался на Волховском, Калининском, Ленинградском, Западном, Брянском, 1-м Прибалтийском, 3-м Белорусском, 1-м Украинском фронтах.
К 25 мая 1943 года заместитель командира эскадрильи 2-го Гвардейского истребительного авиационного полка (215-я истребительная авиационная дивизия, 2-й истребительный авиационный корпус, 14-я Воздушная армия, Волховский фронт) Гвардии младший лейтенант А. И. Майоров совершил 220 боевых вылетов, в 44 воздушных боях сбил 7 самолётов противника (согласно данных наградного листа - 7 лично и 8 в составе группы). Указом Президиума Верховного Совета СССР от 2 сентября 1943 года удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" (№ 1105).
25 сентября 1943 года во 2-й Гвардейский ИАП поступили 12 новеньких истребителей Ла-5ФН, построенных на средства трудящихся Монголии и имеющих на борту надпись "Монгольский Арат". В числе других лётчиков, А. И. Майоров иногда выполнял боевые задания на этих самолётах. За боевые подвиги был удостоен ордена МНР. Несколько позже, Гвардии капитан А. И. Майоров получил в подарок от земляков-железнодорожников именной самолёт Ла-7 "Георгиевский путеец".
26 апреля 1945 года группа истребителей 2-го Гвардейского ИАП, возглавляемая А. И. Майоровым, при патрулировании над Берлином попала в зону сильного зенитного огня. Самолёт Майорова был подбит. До аэродрома лётчик дотянуть не мог - остановился мотор. Пришлось садиться на неровном участке местности. Лётчик чудом остался жив, однако повредил позвоночник.
К концу войны командир эскадрильи 2-го Гвардейского ИАП (322-я истребительная авиационная дивизия, 2-й истребительный авиационный корпус, 2-я Воздушная армия) Гвардии майор А. И. Майоров совершил около 300 боевых вылетов, в 68 воздушных боях сбил лично 13 и в составе группы 6 самолётов противника. Участник исторического Парада Победы 24 июня 1945 года в Москве на Красной площади.
После войны продолжал службу в ВВС, был заместителем командира авиаполка. В 1949 году окончил курсы усовершенствования офицерского состава, был заместителем начальника штаба корпуса ПВО. С 1974 года Гвардии полковник А. И. Майоров - в запасе. Жил в Одессе, работал на спасательной станции. Умер 26 октября 2004 года. Похоронен на Таировском кладбище в Одессе.
Награждён орденами: Ленина (02.09.1943), Красного Знамени (19.02.1943, 29.07.1943), Александра Невского (05.09.1944), Отечественной войны 1-й степени (11.03.1985), Отечественной войны 2-й степени (29.05.1945), Красной Звезды; медалями и зарубежными наградами.