Если дисперсию выборочной совокупности уменьшить в 4 раза то ошибка выборки

Если дисперсию выборочной совокупности уменьшить в 4 раза, то ошибка выборки (стандартная ошибка среднего) уменьшится в 2 раза. Вот почему:

Формула стандартной ошибки среднего (ошибка выборки):

SE = σ / √n

Где:

• SE - стандартная ошибка среднего (ошибка выборки)
• σ - стандартное отклонение генеральной совокупности (population standard deviation)
• n - размер выборки

Дисперсия и стандартное отклонение:

Дисперсия (σ²) является квадратом стандартного отклонения (σ). Следовательно, стандартное отклонение является квадратным корнем из дисперсии:

σ = √σ²

Изменение дисперсии:

Если дисперсию уменьшить в 4 раза, то новая дисперсия будет равна σ²/4.

Новое стандартное отклонение:

Новое стандартное отклонение будет равно квадратному корню из новой дисперсии:

σ' = √(σ²/4) = σ / 2

То есть, стандартное отклонение уменьшится в 2 раза.

Новая стандартная ошибка среднего:

Новая стандартная ошибка среднего будет равна:

SE' = σ' / √n = (σ / 2) / √n = (σ / √n) / 2 = SE / 2

Вывод:

Таким образом, если дисперсию выборочной совокупности уменьшить в 4 раза, то стандартная ошибка среднего (ошибка выборки) уменьшится в 2 раза. Это связано с тем, что стандартная ошибка среднего прямо пропорциональна стандартному отклонению генеральной совокупности.

Пример:

Предположим:

• σ² (исходная дисперсия) = 100
• σ (исходное стандартное отклонение) = √100 = 10
• n (размер выборки) = 25
• SE (исходная стандартная ошибка среднего) = 10 / √25 = 10 / 5 = 2

Теперь уменьшим дисперсию в 4 раза:

• σ²' (новая дисперсия) = 100 / 4 = 25
• σ' (новое стандартное отклонение) = √25 = 5
• SE' (новая стандартная ошибка среднего) = 5 / √25 = 5 / 5 = 1

Как видите, стандартная ошибка среднего уменьшилась с 2 до 1, то есть уменьшилась в 2 раза.